Fundamentoj de lineara algebro/p. 08

Konkludoj el la grupaj aksiomoj

Rimarko 3.1.2 El la grupaj aksiomoj ni konkludas:

(i)	El a'a = e sekvas aa' = e.
(ii)	ae = a por ĉiuj a ∈ G.
(iii)	G entenas maksimume unu neŭtralan elementon.
(iv)	Por ĉiu a ∈ G ekzistas maksimume unu inversa elemento a' ∈ G.

Pruvo.

(i)	Pro G 3 ekzistas b kun ba' = e. Nun sekvas aa' =G2 e(aa') = (ba')(aa') =G1 ((ba')a)a' =G1 (b(a'a))a' = (be)a' =G2 ba' = e
(ii)	Estu a' inversa elemento de a. Tiam sekvas ae =G3 a(a'a) =G1 (aa')a =(i) ea =G2 a
(iii)	Se e1 kaj e2 estas neŭtralaj elementoj, tiam e1 =(ii) e1 · e2 =G2 e2
(iv)	Se a1 kaj a2 estas du inversaj elementoj de a, ni havas a1 =G2 e · a1 =G3 (a2a)a1 =G1 a2(aa1) =G3,(i) a2e =(ii) a2

Ni montris, ke por ĉiu elemento a ekzistas unu kaj nur unu inversa elemento. Ni nomas ĝin a⁻¹.

Rimarko 3.1.3

(i)	(ab)−1 = b−1a−1 por ĉiuj a, b ∈ G.
(ii)	(a−1)−1 = a por ĉiu a ∈ G

Pruvo.

(i)	Ni devas pruvi, ke b−1a−1 estas la inversa elemento de ab. Fakte (b−1a−1)ab = ((b−1a−1)a)b = (b−1(a−1a))b = (b−1e)b = b−1b = e
(ii)	Ni devas pruvi, ke la inversa elemento de a−1 estas a. Tio ĝustas pro aa−1 = e.

<<   8   >>