Proksimuma kalkulo

Kalkulu maltime per rondaj nombroj – proksimuma kalkulo klarigas la mondon

– Ĉu nia tero povas vivteni kreskantan loĝantaron?

– Ĉu eblas haltigi la tutmondan varmiĝon se oni kolektas el la aero la karbonan dioksidon kaj enmagazenigas ĝin?

– Ĉu vere validas tiuj multaj nombroj prezentitaj pri la monda situacio?

Antaŭparolo

Ĉi tiu libro temas pri klimato kaj forcejefikaj gasoj (plantdomaj gasoj), pri nutraĵoj, pri la maroj de la mondo kaj la rapido de la vento. Ĝi celas ĉiujn personojn, kiuj volas uzi matematikon por kompreni ne nur kiel sed ankaŭ kiom. Ĝi ne estas normala lernolibro, sed oni povas uzi ĝin kaj en gimnazioj kaj en altlernejoj, kiam oni aspiras pli senperan kontakton inter diversaj fakoj – socia scienco, matematiko, teknologio, geografio, fiziko, biologio kaj kemio – ol tiun, kiu donas la lernolibroj aŭ retpaĝoj. Partoj de la enhavo jam estis sukcese uzataj en baza lernejo en laŭvola scienca kurso, kune kun ĉi tiu gvidlibro por instruistoj.

La legantoj ne bezonas aliaj antaŭajn sciojn krom la matematiko de la baza lernejo. Iu, kiu jam lertas pri kalkulo, povas transsalti la unuajn sekcioj, sed ankaŭ li certe povas trovi novaĵojn en la aplikantaj ĉapitroj. Por tiuj, kiuj precipe kutimas kalkuli monon, naturscienca perspektivo estas prezentita, kaj por naturscienculoj, kiuj jam spertas pri bravaj proksimumoj, povas esti interese utiligi ilin pri gravaj sociaj problemoj.

La libro komencas per ekspliki iujn metodojn por evoluigi nociojn pri grando kaj kvanto – precipe proksimuman kalkuladon kaj mensan bildigadon. Post tio sekvas kvindek ekzemploj de aferoj, kiujn oni povas elpensi per tiuj metodoj. Per fantazio, proksimuma kalkulado kaj per sperto, kiun oni jam havas, oni iom post iom povas sukcese fari pli kaj pli komplikajn taksojn.

Iuj ekzemploj estas ”solvitaj”. Tio estas: Unu farebla rezonmaniero estas prezentita – ne necese la plej bona, kaj iam eĉ kun iom malpli bona precizeco ol tiu, kiun la leganto mem povus atingi, sed ofte sufiĉe bona por la celo. Aliaj ekzemploj donas nur indikon aŭ konsilon, kaj kelkaj ofertas al la leganto okazon serĉi siajn proprajn vojojn.

En ĉiuj tri okazoj la intenco estas, ke la leganto estu aktiva kaj provu fari mem la taksadon. Tio postulas paperon kaj krajonon, ĉar ofte la kalkulo enhavas tro multajn paŝojn por esti facile regebla. La kalkuloj mem, multipliko, kaj dividoj, oni povas ĉiam fari senskribe. La ambicio kun la libro estas prezenti tiel klarajn bildojn pri kiel pensi, ke la leganto post iom da ekzerco povas fari la tutan kalkulon sen iuj ajn helpiloj. (Tiu estas kiel en la vera vivo, kie oni devas elpensi aferoj ankaŭ kiam oni portas gantojn aŭ oni jam estingis la lumon, aŭ kiam oni trovas sin en debatsituacio, kie nur vigla kapo donas sukceson.) Sed komence: Notu la rezulton de ĉiu paŝo.

Enkonduko

”Dum la jaro 1997 estis ellasitaj en la atmosferon 23 000 milionoj da tunoj da karbona dioksido pro uzo de fosiliaj brulaĵoj.”

”La tero produktas da biomaso 55 · 10⁹ tunoj da petrolekvivalentoj ĉiun jaron.”

Tiaj asertoj aperas al ni ofte. Sed kion ili diras? Ke estas multe, preskaŭ nenion pli. Malfacile estas kompreni grandajn nombrojn.

Eble la informoj estas eraraj. Kelkaj, kiuj skribas en gazetoj aŭ uzas aliajn komunikilojn ne povas bone distingi inter miliono kaj miliardo, eble eĉ opinias, ke ne gravas multe kiom da nuloj la nombro havas ĉe la fino. Ili uzas la nombrojn por paradi – aŭ por timigi. Unu celo de ĉi tiu libro estas vidigi ke oni povas kontroli tiajn statistikajn informojn, eĉ se oni ne bone konas tiujn sciencojn, kiuj produktis ilin.

Sed ankaŭ kiam ni renkontas nombrojn, kiuj estas fidindaj kaj ĝustaj, ni havas problemon pri ili. Ili estas tiel multegaj. Ĉu ili vere helpas nin kompreni la mondon ĉirkaŭ ni? Kelkaj legantoj klopodas parkerigi kaj memori, kion ili legas, aliaj jam konstatis, ke vane estas tio, kaj tial nur trarigardas nombrojn, rapidege, kvazaŭ ili estus nenecesaj. Kiun agmanieron ni elektu – ĉu parkeraĉan legadon aŭ indiferencon?

Ekzistas tria maniero: ĉiam kontroli la ĝustecon. Per kalkuli oni kunligas la nombrojn al aliaj informoj. La nombroj ekvigliĝas kiam ili renkontas aliajn nombrojn – nombrojn, kiujn oni mem elkalkulis. Do legado celanta al parkerigo de nombroj fariĝas nenecesa. Iuj el la nombroj estas malĝustaj, aliaj estas memevidentaj aŭ nenecesaj. Nur malmultaj donas al ni interesajn informojn, kiuj ŝanĝas niajn konceptojn – sed malgraŭ tio eble ne necesas memori tiajn nombrojn.

Ĉu oni do bezonas lerni neniujn ajn nombrojn? Tamen jes, sed sufiĉe malmultajn. Oni nur bezonas kelkajn kiel skeleton aŭ framon; el tiuj oni per kalkulo povas atingi alian scion pri kvantoj kaj grandoj.

Scii plejeble malmulte – tiu povus esti konvena devizo en la nuntempa informa socio. Ofte iu alia ja zorgas pri la detaloj, oni mem povas kontentiĝi per tio, kion oni jam havas en la kapo, plus iom pli, zorgeme elektite por funkcii kiel ilo por konkludi multajn aferojn. Ĉi tiu libro estas kvazaŭ gvidlibro pri esti senscia. Aŭ pli ĝuste: esti multescia per esti malmultescia. Lerni la gravan kaj ne lasi la detalojn malhelpi la vidadon.

La diskuto ĉirkaŭ ni fariĝas per vortoj, per la lingvo, dum la nombroj, prenitaj el aŭtoritatuloj, precipe servas kiel ornamo, kiel dekoracio. Ĉar estas tiel, multe da penado necesas por atingi kvantan sciadon, kie vortoj kaj nombroj kunlaboras por distingi inter aferoj gravaj kaj malgravaj. Pli facila la penado fariĝas, se la matematikaj nocioj estas klaraj, kun bazo en vida kaj intuicia rezonado. Tiajn nociojn ni volas evolui en la sekvantaj ĉapitroj.

Kiom da cerbaj ĉeloj?

Ni komencas per ekzemplo, kiu ilustras metodon, per kiu oni povas kontroli kvantan informon.

PROKSIMUMAĴO 1.

Laŭ la sveda enciklopedio ”Nationalencyklopedin” la cerbo konsistas el 1015 – 1020 nervaj ĉeloj. Ĉu tio veras?

Ni scias kiom granda estas cerbo: proksimume unu decimetro, per rondaj nombroj, kaj laŭlonge, laŭlarĝe kaj laŭalte. Sed kiel granda estas nerva ĉelo?

Se ni okaze scias, ke ĉiuj ĉeloj en la korpo estas pli grandaj ol bakterioj, kaj, ke bakterioj estas milono de unu milimetro – fakto, pri kiu ni parolos pli en venontaj ĉapitroj – tiam ni havas supran limon, kiom da ĉeloj cerbo havas per ĉi tiu argumentado:

Ĉar bakterioj estas milonon de milimetro, tio signifas, ke mil bakterioj farus unu milimetro, se oni metus ilin unu apud la alia. Centimetro bezonas 10 000, decimetro bezonas 100 000. La spaco de la cerbo do havas lokon por cent mil bakterioj laŭlonge, cent mil tiaj vicoj laŭlarĝe kaj cent mil tiaj tavoloj laŭalte. Kiam oni multiplikas tiuj tri nombroj, oni ekhavas nombron kun la cifero unu kaj poste dek kvin nuloj. Tiun nombro oni skribas kiel 10¹⁵. Tiu hazarde estas ekzakte la sama nombro, kiel la malsupra limo donita de la enciklopedio

Sed nia kalkulo temis pri bakterioj, kaj cerbaj ĉeloj estas pli grandaj, sekve tiom da cerbaj ĉeloj ne trovas lokon en la spaco de la cerbo. Tial kredeble la malsupra limo estas malĝusta. La supra dateno 10²⁰ signifas unuo sekvata de 20 nuloj. Tia nombro estas multege tro granda.

Kion ni nun faris montras du aferojn: Unue, ke ni povis kalkuli tre krude kaj tamen esti certa, ke la enciklopedio eraras. Due, ke ni bezonas scii kelkajn aferojn: la grandon de bakterioj, kaj la fakton, ke la korpaj ĉeloj (kaj sekve la cerbaj ĉeloj ) estas pli grandaj ol bakterioj.

Temas do pri trovi kunvenajn bazajn faktojn kaj lerni tiujn. Tiam oni povas trovi vojon al aliaj aferoj. Ĉi tiu libro donas aron de 19 tiaj informoj, kiujn oni devas scii, kaj montras, kiel oni per tiuj povas kalkuli preskaŭ ĉion, pri kio oni scivolas. Krom tiuj dek naŭ vi jam konas multajn. Vi scias ekzemple, kiom da milimetroj faras unu centimetro. Vi ankaŭ havas bonan scion pri multaj aferoj, kiujn vi ne rigardas kiel eksplicita nombro-sciado: – Kiel alta estas homo? – Ĉirkaŭ unu metro (plenkreskuloj iom pli, infanoj iom malpli). – Kiom da lernantoj estas en lerneja klaso? – Ĉirkaŭ 30. Kiel granda parto de la areo de la tero estas maroj? – Pli ol duono. Kiam vi legas la tekston kaj solvas la taskojn, vin helpas multe tia sciado.

Ne timu kalkuli krude

Ni ne volas lasi la detalojn bari nian vidadon, nek vane uzi niajn fortojn por havi la lastan decimalon ĝusta se ni samtempe malzorgas pri la grando-kategorio (”grandordo”). Tial ni uzas ĉiam proksimuman kalkulon – ni taksadas, rondigas nombrojn, kalkulas krude. Ne erare estas kalkuli iom pli precize, sed tio ŝtelas tempon kaj kreas distancon al la rezulto de la kalkulo.

Kion oni ne povas kalkuli kape, tion oni ne solide komprenas. En decidiga momento oni donis la kontrolon al la kalkulilo. Post tio oni ne plu havas nerompitan senton pri kiel aferoj interligas.

Kiom krude oni do povas kalkuli? Nu, oni devas ĉiam distingi inter miliono kaj miliardo. Nur treege malofte oni toleru, ke iu taksado estas miloble tro granda aŭ nur milonon de la ĝusta grando. Maksimume dekoble / dekone ni celas plej ofte sube. Tia precizeco sufiĉas por multe, precipe en kalkuloj per multipliko kaj divido. Plej multan kalkuladon oni faras por kontroli la probablecon de tio, kion oni legis aŭ aŭdis. Oni komparas sisteme kun sia propra sperto, antaŭ ol oni kredas aŭ disvastigas la informon.

Provu taksi plejeble ekzakte, kaj rondigi la nombrojn tiom, ke vi povas senprobleme kalkuli en la kapo. Kalkuli 22,31 · 387 estas malfacile, sed rondigite al 20 · 400 oni povas en unu sekundo diri, ke la rezulto estas proksimume 8000. Se oni sentas necerta pri la cifero 8, ke la ekzakta respondo povus esti egale bone esti 7000 aŭ 9000 aŭ eĉ ekster tiuj limoj, oni povas respondi ”ĉirkaŭ 10 000”. Per respondi tiom ronde, oni montras, ke oni ne pretendas pri precizeco. Oni tiuokaze rondigis al potenco de dek. La potencoj de dek estas 1, 10, 100, 1000, 10 000 kaj tiel plu, kaj oni tutsimple elektas tiun, kiu estas proksima kaj konvenas. Se temas pri malgrandaj nombroj oni elektas 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 kaj tiel plu. (Oni foje nomas tiujn kategoriojn ”la grandordojn”. Oni ankaŭ povas diri, ke ni metas la nombrojn en diversaj grando-klasojn, grandokategoriojn.)

En la supre dirita okazo – kie oni multiplikis 22,31 kaj 387 – estas nenecese singarde respondi 10 000. Oni povas kompreni tion, ĉar oni rondigis la unuan nombron malsupren kaj la duan supren, antaŭ ol oni multiplikis. Ankaŭ la rondigadoj ne estis tre grandaj; ili bezonis nur unu aŭ du paŝoj en la dua cifero (de 22 al 21 al 20, respektive de 390 al 400). Tial la cifero 8 estas sufiĉe fidinda.

Kelkfoje oni eĉ povas rondigi al potencoj de dek antaŭ la kalkulado. Tiuokaze la multipliko kaj divido fariĝas tre facilaj, oni nur devas regi, kiom da nuloj havas la nombroj. Kelkfoje estas malfacile decidi. Kiel longa estas la vivdaŭro de homo, por ekzemple? Dek jaroj ŝajnas tro mallonga kaj cent jaroj tro longa.Tiam oni ne devigu la vivodaŭron en certa potenco de dek, sed preni iun nombron, kiu taŭgas pli bone, 50 jaroj eble. Daŭre la multipliko estas facila, kaj la rezulto eble iom pli preciza.

Se oni volas dividi du nombrojn kaj jam rondigis ilin al 700 kaj 30 respektive, tiam la divido donas reston. Tiam oni povas ŝanĝi la nombrojn iom, ĝis oni povas facile atingi pli rondan rezulton. Se oni ŝanĝas 700 por 600 la kvociento estas 20. Grave estas ke oni povas kalkuli rapide, ene de unu sekundo normale.

Kompreneble ekzistas situacioj, kie kruda kalkulado ne taŭgas. Evidente oni ne povas pruvi, ke biciklo povas trovi lokon en paperkorbo per la sekvanta argumento:

– Kiel longa estas biciklo – ĉu unu centimetron, unu decimetron, unu metron, dek metrojn, cent metrojn…?

– Respondo: Plej proksime unu metron.

– Kiel granda estas paperkorbo – ĉu unu centimetron, unu decimetron, unu metron, dek metrojn, cent metrojn…?

– Respondo: Plej proksime unu metron. Unu metro akordas unu metro perfekte, do unu biciklo trovas lokon en paperkorbo.

La eraro en ĉi tio argumento estas, ke oni ĉe la fino forgesis, ke la informoj pri la longoj estis proksimumaj kaj komencis pensi pri ”akordas perfekte”.

Proksimuma kalkulo estas sufiĉe malestimita kapablo. Kelkaj malĝuste konsideras ĝin kiel malpli bonan specon de kalkulo, sed ĝi havas multajn avantaĝojn. Iam oni kalkulas proksimume nur por gajni tempon aŭ por kontroli la rezulton de kalkulilo, kiu celas al pli alta precizeco. En aliajn okazoj tute ne troviĝas pli bona alternativo. Kaj kelkfoje estus tute stulte kalkuli precize; tio estas, kiam la bazaj informoj estas tre malcertaj. Oni diras ke unu persono ĉiĉeronis sian amikon en la muzeo kaj rakontis pri certa fosilio, ke ĝi havas tridek milionoj kaj du da jaroj. – Kiel vi povas scii? la amiko demandis. – Nu, mi estis tie antaŭ du jaroj, kaj la ĉiĉerono tiam rakontis al mi, ke la fosilio havas tridek milionojn da jaroj.

Tia respektego pri bagateloj troviĝas ofte. En multaj landoj, post iu ajn statistika enketo pri politikaj opinioj de la publiko, la gazetoj kutimas komenti detale eĉ nesignifajn ŝanĝojn de la simpatio de la elektantaro al ĉiu partio.

Sube ni kalkulos la mondan konsumon de nutraĵoj. Estus maltrafe kalkuli tiun kun granda akurateco, ĉar tre malklare estas, kio signifas la nocio ”monda konsumo de nutraĵoj”. Ĉu oni difinias tiun, kvazaŭ oni pesus la manĝaĵojn en la lasta momento, kiam ĝi estas enbuŝigota? Aŭ ĉu oni pensas kvazaŭ pesado okazis antaŭ la surtabligo, aŭ antaŭ la kuirado? Aŭ, ĉu oni kalkulu kiam oni hejmenportas la nutraĵojn, aŭ dum la rikolto? En ĉiu stadio okazas perdaĵoj, kaj en kelkaj oni aldonas akvon. Ĉu akvon oni enkalkulu, ĉu trinkaĵojn, ĉu mamlakton? Ĉu oni eble nur kalkulu la seka substanco? Nur malofte – aŭ neniam – oni detale difinias ĉion tian, sed malgraŭ tio ekzistas naiva kredo, ke la informo estu ekzakta.

Ne estas eraro uzi nociojn, kiuj estas neprecize difinitaj, kiel ”monda konsumo de nutraĵoj”. Se ne, ni preskaŭ povis paroli nenion. Erare fariĝas, kiam oni ĉesas pripensi, ke ili estas malklaraj kaj la informoj pri ili laŭgrade neprecizaj. En multaj el niaj ekzemploj ni kalkulos proksimume ĝuste ĉar tiu estas la sola ĝusta afero por fari. En aliaj ekzemploj oni ankaŭ povas atingi pli precizan respondon, se oni taksas tian penvalora.

Miliono kaj miliardo

Oni scias, ke miliono signifas 1 000 000, tio estas miloble mil, kaj miliardo estas 1 000 000 000, tio estas miloble miloble mil. Kiom da nuloj havas la nombroj, tion oni ĉiam sciu. Intuicia sento pri la nombroj oni akiras se oni uzas ilin en proksimuma kalkulado. Oni spertas, ke loĝantarojn oni kutime kalkulas per miloj en komunumoj, per milionoj en landoj kaj per miliardoj, kiam temas pri la mondo. Per plej multaj monunuoj individuoj kutimas kalkuli sian monon per milbiletoj, dum kompanioj kalkulas milionojn kaj ŝtatoj per miliardoj.

Jam en sia infanaĝo oni lernas nombri ĝis cent. Malmultaj iam nombris ĝis mil sed ni tamen scias, ke ni povus. Nombri ĝis dekmil daŭras tagon, ĝis centmil monaton, kaj ĝis miliono jaron. Nombri ĝis miliono do estas projekto, kiun aro de sindonaj junuloj povus entrepreni, se neniu saĝa plenkreskulo haltigus ilin, sed kalkuli ĝis miliardo neniu homo povas.

Kelkaj eraraj informoj devenas de tio, ke iuj lingvoj uzas vortojn similaj al ”biliono” kun la signifo miliardo, dum pri aliaj lingvoj kaj la signifoj kaj la vortformoj akordas al la esperantaj. Unu biliono estas 10¹², do 1 000 000 000 000 (unuo sekvata de 12 nuloj). Mil miliardoj necesas por adicii al biliono.

La prefikso por mil estas kilo (k), por milionoj mega (M), kaj por miliardoj giga (G). Ekzemple sur envolvaĵo de paketo da pizoj estas skribite, ke 100 gramoj da pizoj donas 1250 kJ da energio. Tiun grandon, 1250 kiloĵulo, oni povas skribi kiel 1,25 megaĵuloj, kaj oni povas uzi tiun informon por taksi la ĉiujara bezono de energio de unu persono, por kiu oni konvene uzas la unuon gigaĵulo.

Uzu vian sperton kaj fantazion

Proksimumaĵo 2.

– Kiom da tunoj da oranĝoj importas ĉiujare Belgio?

– Mi ne scias.

– Mi ne petas vin rakonti ekzakte – proksimume?

– Mi havas eĉ ne scieton pri tio.

– 100 kg?

– Pli.

– Jen, vi scias. Vi ja havas scieton. Ĉu povas esti 1000 kg?

– Pli.

– 10 tunojn.

– Eble.

– 1000 tunojn?

– Eble

– Unu miliono da tunoj, aŭ unu miliardo da tunoj?

– Eble.

Ni pripensu kaj kalkulu proksimume. Nia sperto pri oranĝoj jam diris, ke la belgoj importas pli ol 100 kg kaj eĉ pli ol 1000 kg. Kaj ni povas konkludi pli el nia scio pri oranĝoj kaj belgoj.

Belgoj verŝajne estas kiel ordinaraj homoj. Kiel mi ekzemple. Mi manĝas eble unu oranĝon ĉiusemajne. Tio faras 50 ĉiujare. Eble kvin oranĝoj faras unu kilogramon, mi do manĝas dek kilogramoj ĉiujare. Sed kiom da personoj havas Belgio? Mi scias, ke ĝi estas malgrandeta lando, sed dense loĝata, mi konjektas 10 milionojn. Se ĉiu manĝas dek kg, sume ili manĝas 100 milionojn da kilogramoj ĉiujare. Tio estas 100 000 tunoj. Ĉu ili kulturas oranĝoj en Belgio? Kredeble ne. Ili do importas siajn 100 000 tunojn ĉiujare. Jen la respondo.

Ĉu oni povas fidi tiun rezulton? Kiom bone ĝi estas? La nombro da belgoj, ĉu ĝi povas esti dekobla – 100 milionoj? Ne. Dekono? Ne. La takso de la nombro de la belgoj ne enhavas grandan eraron. Sed la takso de la konsumo estas iom pli necerta. Ili eble manĝas 10 oranĝoj ĉiusemajne, ne unu. Tiaokaze la rezulto estu dekoble la supre skribita. Sed 100 oranĝoj ĉiu semajno ili verŝajne ne povas manĝi – eble kelkaj individuoj, sed ne meznombre. La belgoj eble havas fabrikojn kiuj eksportas sukon aŭ marmeladon utiligandajn importitajn oranĝojn, sed se tia eksporto estus tre granda, ni verŝajne aŭdis pri tio, ĉar iom strange estus, se lando kun klimato nekonvena por oranĝokultivado ekokupiĝis pri grandskala eksporto de oranĝproduktoj.

Ĉu eblas, ke la belgoj manĝas sufiĉe pli malmulte da oranĝoj ol unu oranĝo ĉiusemajne? Mi ne scias. Sed tiom oni kuraĝas diri, ke la eksporto de oranĝoj estas kalkulebla per dekmiloj da tunoj, kaj ĝi probable ne estas milionoj da tunoj ĉiujare. Tio estas bona rezulto de nia proksimuma kalkulo. Ĉiu antaŭa pensado pri 10 tunoj kaj cent milionoj da tunoj kaj miliardoj da tunoj ni povas nun rezolute rifuzi. Kaj ni faris tion per propra povo. Ni ne serĉis en libroj aŭ surrete kaj ni ne devis fidi aŭtoritatulojn.

Ĉio ĉi-supre ni povis konkludi per nur iom da pensado. Sube ni plivastigos la kampon de la elpenseblo, per prezentado de dek naŭ zorge elektitaj nombroj, kiujn oni povas uzi kiel bazo por kalkulo de aliaj gravaj informoj. Tiujn dek naŭ nombrojn oni devas ellerni (se oni ne jam konas ilin, aŭ konas aliajn nombrojn, kiuj havas la saman efikon.) Dek naŭ malgraŭ ĉio estas sufiĉe malgranda nombro, kompare kun kiom da nombraj informoj multaj personoj klopodas parkerigi.

Se oni kutimas kalkuli proksimume, oni trovas, ke pri multaj nombroj pezigi la memoron per ili tute ne necesas. Se oni bezonas scii ion, oni povas mem egale bone elkalkuli tion. Samtempe oni akiras strukturon, al kiu oni ligas novajn sciojn. Lerni novajn nombrojn do fariĝas pli facile. Ne nur la klasoj de grando fariĝas pli interesaj, sed ankaŭ kelkaj nombroj kun pli granda precizeco. Pensu por ekzemple, ke vi nun ekhavus statistikon pri internacia komerco de oranĝoj. Estus interese serĉi Belgion kaj kontroli kiom valoris la supra proksimumaĵo, ĉu ne?

(Laŭ statistiko de la Organizaĵo pri Nutrado kaj Agrikulturo de la Unuiĝintaj Nacioj [1], Belgio importis 139 090 tunoj da oranĝoj en la jaro 2009)

Kiam oni kutimas al proksimuma kalkulado, oni fariĝas pli rapida, kaj tial oni sukcesas kalkuli pli, kaj havas pli da ekzerco, kaj fariĝas ankoraŭ pli rapida. Se ni reiras al la ekzemplo kun la belgoj: Ni traktis ĝin detalege, sed post unu semajno vi eble forgesis la rezulton kaj volas rekalkuli ĝin. Kiel rapide tio okazas? Ĉu la laboro tiam postulos duonon minuton? Dek sekundojn? Vi eble ne faros ĉion kiel ni faris supre, sed verŝajne la rezulto tamen estos bona.

Kiom?

PROKSIMUMAĴO 3.

Kiom da libroj havas la biblioteko?

Provu imagi en via interna vidaĵo la librojn de via biblioteko antaŭ vi, tiaj kiel ili staras sur siaj bretoj. Kiom da libroj havas ĉiu breto? Ĉu dek, cent, mil… ? Eble vi havas helpon, se vi pensas, ke tia breto estas ĉirkaŭ unu metron longa, kaj ke la libroj estas ĉirkaŭ unu centimetron dikaj.

Se cent libroj faras unu breto, kaj ĉiu rako aŭ bretaro havas ses bretoj, ĉiu tia rako havas malpli ol mil librojn (600). Kiom da rakoj havas ĉiu rakaro aŭ sekcio? Vidu ĉirkaŭen en la biblioteko. Ili verŝajne estas neegale longaj. Eble vi decidas, ke la plej multaj konsistas el tri rakoj. Tio faros 2000 libroj en ĉiu rakaro. Kiom da rakaroj? Se kelkaj estas multe pli longaj ol la aliaj, vi povas dividi ilin en sekcioj de tri rakaroj. Supozu 23 sekcioj en via specifa biblioteko. Tiam ni povas diri ke ĝi havas 23 · 2000 ≈ 50 000 librojn.

Ĉi tio komprenigas, kiel oni povas mense aranĝi grupe siajn imagaĵojn ĝis oni havas egalgrandajn partojn, kiujn oni povas multipliki. Tiamaniere oni ofte povas bone proksimumi.

Se vi trovas oportune, vi povas ŝanĝi la rezulton iom supren aŭ malsupren. Eble plej multaj libroj tamen dikas pli ol unu centimetro. Tiaokaze ni eble kredas, ke la libroj estas 40 000 aŭ 30 000 anstataŭ 50 000. Ĉiuokaze ni ne kredu, ke ni trafis ekzakte. Proksimumon ni ja faris.

En ĉi tiu ekzemplo oni devas akcepti ke oni verŝajne eraras je maksimume tridek mil, en aliaj okazoj la eraro estas pli ol malpli. Ofte oni havas intuician senton pri kiom multe la eraroj en ies taksadoj influas la rezulton. Se oni eraris je dudek elcentojn taksante la meznombran librodikon, oni devas akcepti eraron de ĉirkaŭ dudek elcentoj en la fina rezulto. Se oni volas fari al si la penon, oni povas fari du kalkulojn, unu kie oni kalkulas ĉion abunde, kaj alian, kie oni kalkulas ĉion malsufiĉe. Tiam oni akiras supran kaj suban limon por la kredeblointervalo.

PROKSIMUMAĴO 4.

Kiom da esperantajn vortojn vi konas?

Imagu grandan vortaron, kie preskaŭ ĉiuj vortoj, kiujn vi konas, ĉeestas. Kiom da paĝoj ĝi havas? Kiom da vortojn sur ĉiu paĝo vi konas? Kiom granda parto de la vortoj vi konas?

Anstataŭ nur imagi la vortaron, vi povas fari realan esploron de via vortprovizo. Vi do bezonas sufiĉe grandan vortaron (papera). Kiom da vortoj tiu enhavas ofte estas skribite sur la kovrilo aŭ en la antaŭparolo, sed kontrolu tiun informon por esti certa, per multipliki la nombron de la paĝoj per la nombro de la vortoj ĉiupaĝe (nombri ilin sur kelkaj paĝoj kaj kalkulo la mezvaloron).

Supozu, ke la libro havas 23 000 serĉvortojn. Tiam vi malfermu ĝin senplane 23 fojojn kaj metu la fingron ie ajn sur la paĝo kaj legu la vorton, kiun ĝi montras. Notu, ĉu vi konas la vorton aŭ ne. Vi mem decidu, ĉu vi kalkulos vian aktivan vortprovizon – la vortojn, kiujn vi kutime uzas – aŭ aldone la pasivan – tiujn vortojn kiujn vi komprenas. Vi nun kontrolis 23 el la 23 000 serĉvortojn, do milonon. Se vi konis 14, tio signifas, ke vi tute konas 14 000 el la vortoj en la vortaro. (Ĉar via samplo estis tiom malgranda povas esti, ke via vortprovizo vere estas kelkaj miloj pli aŭ malpli, sed ĝi estas inter la limoj 10 000 kaj 20 000, pri tio vi povas esti sufiĉe certa. Se oni volas plian akuratecon, oni devas kontroli pli multajn vortojn, ekzemple unu ducentonon el la serĉvortoj de la vortaro, sed verŝajne nur malofte oni interesas sin pri tiaj detaloj.)

PROKSIMUMAĴO 5.

Kiom da aviadiloj oni bezonas en ”aerponto” por veni helpi unu milionon da senrimedaj homoj per nutraĵoj kaj provizaĵoj?

Oni povas pensi ĉi tiel: Kiom da sidlokoj havas aviadilo? Se oni iam vojaĝis en aviadilo, similgranda kiel tiuj, kiuj la aerponto povas uzi, oni nur elvokas la bildon de la seĝoj en la kajuto. Kiom ili estis, unu apud la alia? Kiom da vicoj? Poste oni demandas sin: Ĉu oni devas porti tiom da aĵoj al ĉiu senrimeda homo, ke ĝi plenigas la lokon de unu vojaĝanto? Aŭ ĉu oni povas ŝtopi sur ĉiun sidlokon tiom da litkovroj kaj manĝaĵoj kaj aliaj bezonaĵoj, ke sufiĉas por 10 personoj, aŭ pli? Tiel oni ekhavas ideon, kiom da personoj unu aviadilo povas helpi. Tiam oni dividu.

PROKSIMUMAĴO 6.

Iu komputila dosierujo montras, ke en sia memoro la komputilo havas dosieron de ”200 kB”. Ĉu eblas trovi lokon en tiom granda dosiero por tuta ĉi tiu Vikilibro pri proksimumaĵo?

La literoj kB signifas (ĉirkaŭ) 1000 bitokoj da informo. En normalaj tekstaj dokumentoj tiom da informo respondas ankaŭ al proksimume 1000 signoj (literoj, ciferoj kaj interpunkciaj signoj). Vi do devas scii kiom da signoj ĉi tiu Vikilibro entenas. Vi povas facile kalkuli aŭ taksi la nombron sur unu linio. Poste vi taksu la nombron da lineoj kaj multipliki. Ĉu sufiĉas 200 kB?,

Pri komputilaj dosieroj oni do indikas kiom da bitokoj (B) estas la kvanto de informo. Ankaŭ ekzistas pli malgranda unuo por informo. Unu okono de bitoko estas unu bito, ankaŭ nomata duumo.

Ekzistas ludo, nomata Dudek demandoj. Unu person decidas, ke li pensas pri certa afero, kaj ĉiuj aliaj ludantoj penas per nur 20 demandoj eltrovi, kio estas tiu afero. Ili nur rajtas uzi ĉu-demandojn, kaj la respondoj estu nur ”jes” aŭ ne”. Oni povas rigardi komputilon kiel tia ludantaro. Sed ĝi uzas ok demandojn anstataŭ dudek. Se la pripensita afero estas certa litero sur certa paĝo en iu dokumento, la demandantoj devas per ok demandoj eltrovi, kiu litero en la alfabeto estas ĝi, kaj ĉu ĝi estas majuskla aŭ minuskla. Ankaŭ ciferoj k.t.p. estas permesataj. Ĉu vi sukcesus per tia ludo? (– Ĉu ĝi estas konsonanto? – Ĉu ĝi estas ĉapelita? … Tiel oni povus komenci. Gravas, ke oni en ĉiu paŝo dividas la tutaĵon en plejeble memgrandajn partojn.)

PROKSIMUMAĴO 7.

Kiom da informo estas en televida filmo?

La filmo estas aro de bildoj, montrataj rapide sinsekve. Oni povas konsideri ĉiun bildon kiel aro de linioj, kaj ĉiu liniu kiel aro de punktetoj (rastumeroj), kiuj ĉiu havas sian koloron kaj lumintenson. Se nur estus 100 punktoj laŭlonge kaj laŭalte oni opinius, ke la bildo estas tro grandera. Ni do kalkulu per 1000 · 1000 bildpunktetoj sur ĉiu bildo. Tiam la bildo estas sufiĉe neta. Ĉiu sekundo ni bezonas proksimume dekoble tiom da bildpunktetoj. Tio estas ĉar pli ol dek bildoj necesas, ke la filmo ne aspektu kiel apartaj, hakataj bildoj, sed la movado aspektu mola kaj seninterrompa. Ĉirkaŭ 1000 sekundojn la filmo devas daŭri, ke ni ne malkontentu pri ĝia mallongeco. Se ni multiplikas ĉiujn tiujn nombrojn, ni ekhavas dek miliardojn, aŭ alie dirite dek gigaduumojn (10 Gbit). Tiom da jes-ne-demandojn ni devas fari por rekrei la tutan filmon, sed tiam ni ankoraŭ ne havas ĝin kun koloroj, kaj ne kun nuancoj inter nigra kaj blanka. Por ĉiu punkteto ni nur havas informon, ĉu ĝi estas ŝaltita aŭ malŝaltita.

Por atingi kvaliton ni devas por ĉiu bildpunkteto ankaŭ fari dekon da demandoj por havi pli precizan informon pri la kvanto da blua enmiksite tie, dekon pri la kvanto da ruĝa, kaj dekon pri la verda, do kune ĉirkaŭ tridek demandojn. Per tiuj tri simplaj koloroj ĉiuj nuancoj sur la televidoekrano estas kreitaj. Tridek demandoj oble dek miliardoj faras 300 miliardoj da duumoj (300 Gbit).

PROKSIMUMAĴO 8.

Kiom da hareroj havas kapo?

Vi eble pensas ĉi tiel: La hareroj situas je distanco de unu milimetro. La skalpo estas ĉirkaŭ 20 cm · 20 cm. Tiu faras 200 hareroj laŭlonge kaj 200 laŭlarĝe. Respondo: 40 000.

Ĉu ni povas fidi la respondon? Nu, kompreneble multaj kapoj havas malpli da harerojn. Eĉ kalvaj kapoj ekzistas. Kaj la takso, ke la distanco inter la hareroj estas unu milimetro estas trafe-maltrafe. Sed ni povas esti tute certaj, ke la distanco ne estas 0,1 milimetro – ni ja povas vidi haŭton en la spaco inter ili se ni inspektas ies harfundon. Se ni kalkulus kun duonmilimetran distanco ni havus 400 · 400 = 160 000, anstataŭ la ĉi-supre diritaj 40 000. Tiom granda la necerteco estas ĉi tie; do saĝe estas rondigi la rezulton al 100 000 kaj rimarki, ke ekzistas ankaŭ kapoj kun malpliege multaj da hareroj.

PROKSIMUMAĴO 9.

Kiom da maŝoj havas trikita vesto?

PROKSIMUMAĴO 10.

Kiom da folioj havas arbo?

Mezur-unuoj

Vi scias kiel longa estas unu centimetro, ankaŭ unu milimetro, decimetro, metro kaj kilometro. Vi kaj povas imagi ilin vide kaj scias kiom multaj de certa unuo necesas por fari la proksiman pli grandan. Vi ankaŭ havas bildon pri litro, decilitro kaj kilogramo, kaj eble multaj pliaj unuoj.

Mililitro, gramo, miligramo kaj tuno estas uzitaj tiel ofte, ke oni bezonas intuician koncepton pri ili. Oni povas pensi ĉi tiel:

Mililitro – Unu mililitro estas milonon de litro. Ĉar unu litro plenigas kubon, kiu estas 1 dm longa, 1 dm larĝa kaj 1 dm alta, ni ekhavas milonon de tio per dividi la kubon per dek laŭlonge, per dek laŭlarĝe kaj per dek laŭalte. Tio faras kubon, kiu estas 1 cm oble 1 cm oble 1 cm. Imagu tiun vide. Tiu estas 1 ml. (Se vi iam lernis, ke kulereto entenas kvin mililitrojn, kaj vi malfacile komprenas tion, bonvolu eltranĉi tiajn kubojn el banano kaj enprenu ilin en kulereton, kaj vi vidos ke eblas.

Gramo – Vi scias ke 1 litro da akvo pezas 1 kilogramon. Milono de litro do pezas milonon de kilogramo. Se vi prenas alian materialon ol akvo, tio ne ŝanĝas multe. Kubo el ligno, plasto aŭ pomo kun 1 cm eĝo ĉiuj pezas cirkaŭ 1 gramojn.

Miligramo – Miligramo signifas milono de gramo. Do imago kubon, kiu estas 1/1000 de unu kubcentimetro. Tio estas unu dekono laŭlonge, unu dekono laŭlarĝe kaj unu dekono laŭalte. Ĝi do havas eĝoj, kiuj estas unu milimetro. Venigu antaŭ via vido la bildon de tia kubo kaj diru: ”Ĝi verŝajne pezas unu miligramo”.

Tuno – Tuno estas mil kilogramoj. Kubo, kiu havas dekoble la longon, dekoble la larĝon kaj dekoble la alton kompare al la unulitra kubo, do pezas unu tunon, se ĝi konsistas el akvo aŭ io kun la sama denso. Ĝi do havas la eĝon je unu metro. Unu kubmetro da brulligno pezas preskaŭ unu tuno. (Brulŝtipoj estas sufiĉe maldensaj por flosi sur akvo, kaj ankaŭ ili havas spacoj inter si en la kubmetra lignostako, tamen sufiĉe bonajn rezultojn oni ekhavas, se oni kalkulas, ke 1 kubmetro estas unu tuno ankaŭ tiaokaze.)

Ĉiupersone kaj la homaro

La nombro de la nun vivantaj personoj sur la tero estas ĉirkaŭ 8 miliardoj. Se oni scias tion, oni povas facile rilatigi la monda stato al sia individua sperto.

Kiom granda estas la monda konsumo de nutraĵoj? iu demandas. Oni mem manĝas ĉirkaŭ unu kilogramon ĉiutage. Sekve manĝas ĉiuj homoj de la tero kune 8 miliardoj da kilogramoj. Tiun respondon oni povas doni tuj, kaj nur iom pli tempo oni bezonas por presenti ĝin kiel tunoj aŭ prezenti la ĉiujaran kvanton. Oni nur multiplikis per 8 miliardoj por transiri de la individua al la tutmonda. Ĉiuj personoj ja manĝas proksimume la saman kvanton – eĉ suĉinfanoj, se oni rigardas lakton kiel nutraĵon.

PROKSIMUMAĴO 11.

Kiom estas la ĉiujara bezono de lernejolibroj de la mondo?

Lernolibroj ne estas kiel nutraĵo. Ni homoj ja ne konsumas lernejolibrojn ĉiun ajn tagon de nia vivo. Tial indas unue kalkuli la bezonon dum tuta homa vivo, proksimume 50 jaroj. Kiom da lernejolibrojn vi konsumis (aŭ konsumos, se vi ankoraŭ estas lernanto)? Eble 10 lernejaj jaroj oble dek lernofakoj oble unu lernolibro por ĉiu. Tio faras 100 librojn – sed ĉu tiuj libroj estis novaj, kaj ĉu vi rajtis reteni ilin? Se ili estis plurfoje uzataj, oni dividu per la nombro de lernantoj, kiuj uzis la saman libron. Se vi opinias, ke via bezono estis kontentigita, vi simple multipliki per 8 miliardoj por havi la monda bezono "dum 50 jaroj". La perjara bezono estas unu kvindekono de tio.

POR MEMORI (1)	Sur la tero vivas nun 8 miliardoj da homoj.

Loĝantaroj kaj kreskoj

La loĝantaron de sia propra lando homoj ofte konas, kaj tio estas bona, ĉar informoj, kiujn oni legas en gazetoj aŭ aŭdas de radio ofte aludas la landon. Se temas pri aliaj landoj oni ne povas supozi, ke ili estas egale homriĉaj. La malsamecoj estas tro grandaj eĉ por tre kruda kalkulo. Oni devas atenti, al kiu grandokategorio apartenas ĉiu el la 200 landoj de la mondo. Ekzistas du miliardŝtatoj, ĉirkaŭ 45 cent-milion-ŝtatoj, ĉirkaŭ 100 dek-milion-ŝtatoj, ĉirkaŭ 40 milion-ŝtatoj kaj preskaŭ 30 pli malhomriĉaj.

Kie oni decidas, ke la limo estas inter la kategorioj? Ĉu ŝtato kun 40 milionoj loĝantoj apartenas al la dek-milion-ŝtatoj aŭ al la cent-milion-ŝtatoj?

Ni tiris la limlinion ĉe abunde tri oble cent milionoj, tri oble dek milionoj, tri oble miliono kaj tiel plu. Oni povas opinii, ke la limo estu ĉe 5, sed la nombro 3 havas la avantaĝon, ke ekzemple la miliono-kategorio enhavas ĉiuj ŝtatoj kiuj estas tri-oble aŭ tri-one de miliono. Oni do uzas la saman faktoron supren kaj suben – la kvadrata radiko de dek, kiu estas iomete pli ol 3. Oni ĉie havas trioblecon, de kategorio al la limo, kaj de la limo al la kategorio. Sed tio estas detalo.

Per kategoriigo laŭ homriĉeco oni povas atenti la loĝantaron de ĉiuj ŝtatoj de la mondo, ne bezonante parkerigi loĝantarlistojn – kiuj ĉiuokaze estos nevalidaj en la daŭro de kelkaj jaroj. Ekzemple pri Irako, Kirgizio, Aŭstralio kaj Moldavio eble sufiĉas scii, ke ili apartenas al la dek-miliono-ŝtatoj. Tia rondigado estas iom kruda, sed malgraŭ tio oni povas atingi prudentajn rezultojn. Tio montras la suban tabelon de proksimumoj de la tuta loĝantaro en ĉiu kategorio, kiun oni ekhavas simple per multipliki la nombrojn de la du unuaj kolumnoj:

Kategorio	Nombro de ŝtatoj	Taksata tuta loĝantaro
Miliard-ŝtatoj	2	2 gigapersonoj
Cent-milion-ŝtatoj	45	4,5 gigapersonoj
Dek-milion-ŝtatoj	100	1 gigapersonoj
Milion-ŝtatoj	40	40 megapersonoj
Malpli	30	< 3 megapersonoj
Entute	ĉirkaŭ 200	7,5 gigapersonoj

Entute tiu taksado do donis ses kaj duonon miliardojn, sufiĉe proksime al la nombro, kiun ni jam lernis pri la loĝantaro, nombro kiu devenis el pri precizaj kalkuloj. Kion oni devas konstante priatenti estas la gigantokategorio. Oni ne povas supozi, ke unu afero kompensas la alian, kiam temas pri tiom malmultaj ŝtatoj – nur du, Hindujo kaj Ĉinio. Ambaŭ ŝtatoj vere havas pli ol miliardon da loĝantoj. Kune tio donas ankoraŭ duonon miliardon, kaj ni bontrafas la momente ĝustan valoron, 8 miliardojn.

Alia situacio, kie la aferoj en la plej grandaj ŝtatoj influas forte, estas, kiam oni havas ian mezvaloron de la tuta mondpopulacio. Kiam oni legas, ke la kresko de la monda loĝantaro malkreskas, ĉu tio estas kaŭzita de ĝenerala ŝanĝo en multaj ŝtatoj aŭ de populacio-politiko en nur Hindujo kaj Ĉinio?

Sed pro tio oni ne konstruu mondan mezvaloron per adicii la nombrojn de ĉiuj landoj kaj dividi per 200. Vere tio solvus la problemon, ke malgrandaj landoj influas malforte, sed en preskaŭ ĉiuj situacioj, pli saĝe estas konstrui mondajn mezvalorojn bazite sur individuoj. Neeviteble homriĉaj landoj tiam havas grandan pezon, sed konsideri tion devas esti la tasko de la persono, kiu legas la statistikon.

POR MEMORI (2)	Sur la tero estas proksimume 200 ŝtatoj. El tiuj duono estas dek-milion-ŝtatoj, sufiĉe multaj cent-milion-ŝtatoj kaj du estas miliardŝtatoj.

PROKSIMUMAĴO 12.

Kiuj estas pli multaj DUM KONSTRUO.

ANKORAŬ NE FUNKCIAS ĈI TIU PARTO DE LA TEKSTO

PROKSIMUMAĴO 13.

Kiom da personoj naskiĝas ĉiujare?

Komence ni pripensu pli facilan problemon: Kiom da homoj mortas ĉiujare? Vi pritraktu vin mem? Kiom da fojoj vi mortos dum via vivtempo? Respondo: Unu fojon. Tio validas por ĉiuj: unufoje dum vivo, kiu daŭras ĉirkaŭ 50 jarojn (meznombre). En la tuta mondo, ĉi tio estas 8 miliardoj da mortoj dum 50 jaroj, do ĉirkaŭ cent milionoj ĉiujare. Ĉar la monda loĝantaro kreskas, la naskoj vere estas pli multaj ol tiom, sed ĝi ne povas esti multoble tio, ĉar tiaokaze post kelkaj jaroj aldoniĝus kroman miliardon, kaj tiaokaze ankaŭ ne estus prudente admoni la legantojn ellerni la nombron 8 miliardoj.

PROKSIMUMAĴO 14.

Kiom granda estas la jara kresko de la loĝantaro en lando, kie virino meznombre naskas du infanojn, kaj kie la enmigrado kaj elmigrado estas egalaj?

Unu infano anstataŭas ŝin kaj la alia anstataŭas la patron; la kresko tial estas 0 elcentoj, se la situacio kun meznombre du infanoj daŭras dum longa tempo, kaj se la mortado kaj la aĝo kiam la virinoj naskas ne ŝanĝas. (Atentu, ke la mezvaloro de la naskoj vere inkluzivas ĉiujn virinajn homojn, ankaŭ tiujn, kiuj mortis antaŭ ol ili atingis naskipovan aĝon.)

En realo grandaj ŝanĝoj okazas, farigante naskitaron de iuj jaroj grandaj, kio siavice kaŭzas aliajn ŝanĝojn. Tiuj ŝanĝoj estas vaste diskutitaj, ĉar ili havas evidentajn konsekvencoj en infanejoj kaj lernejoj, kiuj estas proporciigitaj sen marĝenoj. Tamen tiaj ŝanĝoj estas sufiĉe malgrandaj, kaj en siaj efikoj sur la loĝantaro kaj sur la socia ekonomio kaj en longa perspektivo. Tial per iom da zorgemo oni povas atingi gravajn rezultoj ankaŭ per proksimumado, kiu ne konsideras tiaj ŝanĝojn.

Pri loĝantara statistiko gravas multe, ke oni zorge legas la difinojn de nocioj kiel mortokvanto, mortindico, naskindico, kreskindico, procento de natura kresko. Kontrolu, ĉu la difino de virino enkalkulas nur virinojn inter 15 kaj 45 jaroj aŭ ĉiujn virinajn personojn. Estas ankaŭ kutime kalkuli mortojn dum infanaĝo en alia kategorio ol la aliajn mortojn, kaj ne ĉiam tio estas klare deklarite.

Por tiuj, kiuj kredas, ke la nombroj estas pli gravaj ol la ĉirkaŭantaj vortoj, jen tiuj tri demandoj: Kiu ricevis la Nobel-premion pri fiziko de la jaro 1921? Kiu estis premiita per la Nobel-premion pri fiziko en la jaro 1922? Kiu ricevis la Nobel-premion pri fiziko en la jaro 1923? La respondo de ĉi ĉiuj tri demandoj estas Albert Einstein. Tio ne signifas, ke li ricevis la premion trifoje. Sed pri la premio de 1921, la decido malfruis ĝis 1922, kaj Einstein veturis al Svedio nur la postan jaron, 1923.

PROKSIMUMAĴO 15.

Kiom estas la jara kresko de la loĝantaro en lando, kie virino meznombre naskas kvin infanoj?

Du el la infanoj anstataŭos la gepatrojn. Krom ili naskiĝas tri. Tiuj estas 1,5 por la patro dum lia vivo de 50 jaroj kaj 1,5 por la patrino dum ŝia vivo de 50 jaroj. Dum la vivdaŭro de tiu meznombra virino ŝi kreas 1,5/50 infanojn nete ĉiujare, kaj egale multajn la meznombra viro. La frakcio 1,5/50 egalas 3/100, do 3 elcenta kresko de la loĝantaro ĉiun jaron.

Duobliĝo kaj duoniĝo

Se io kreskas per cent elcentoj ĝi fariĝas duobla. Se ĝi kontraŭe unue kreskas per 50 elcentoj kaj post jaro per aliajn 50 elcentojn, ĝi fariĝas pli ol duobla, ĉar oni komprenas tio tiel, ke ne nur la origina kvanto kreskas dum la dua okazo sed ankaŭ la aldono, kiun la origina kresko kaŭzis.

Same se oni havas ĉiujara kresko de 1 elcento. Tiam duobliĝo okazas en malpli ol 100 jaroj. Vere ĝi okazas en ĉirkaŭ 70 jaroj. Tiu sepdek indas noton en via memoron. Rigardu la sekvan tabulon, kiu montras kiel longa estas la duoblo-tempo je diversaj elcentaĵoj. La nombroj aludas jaroj, se temas pri ĉiujara kresko.) La tabulon estas kreita per zorgema kalkulado, kie oni ripete kalkulis plialtigitajn kvantojn ĝis oni atingis duoblan kvanton.

Elcentaĵo	Duobliĝa tempo
0,1	693
1	70
2	35
3	23
5	14
7	10
10	7
20	3,8

En la tabulo oni povas ekzemple vidi, ke ĉiujara kresko je 1 elcento faras duoblon post 70 jaro kaj 2 elcenta kresko post 35 jaroj.

Ni nun multipliki la du nombrojn sur la sama lineo: 0,1 oble 693 faras 69,3; 1 · 70 = 70; 2 · 35 = 70 kaj tiel plu. Ni vidas, ke la rezulto estas ĉie ĉirkaŭ 70. Tio montras, ke oni en praktikaj situacioj ne devas fari ampleksajn precizajn kalkulojn pri ĉiu jaro. La duobligo-tempo multiplikite per la elcentaĵo ĉiam estas ĉirkaŭ 70, kondiĉe ke la elcentaĵo ne estas tro granda. Se oni konas unu oni facile kalkulas la duan. Simple trovi nombron donanta la produkton 70 (aŭ eble 72 aŭ 75, se tio estas pli konvena.)

POR MEMORI (3)	Kiam kresko (aŭ malkresko) ĉiam okazas per egale multaj elcentoj dum la sama tempospaco, oni povas uzi la ”70-regulon”, kiu diras, ke la elcentaĵo oble la duoblo-tempo (duono-tempo) kutime estas ĉirkaŭ 70.

PROKSIMUMAĴO 16.

Antaŭ dudek jaroj mia salajro estis la duono de la nuna salajro. Kiom da elcentoj estis la meznombra jara kresko de la salajro?

70 / 20 = 3,5. Respondo: 3,5 elcento ĉiujara meznombra kresko.

PROKSIMUMAĴO 17.

Por certa lando oni atendas stabilan kreskon de la malneta enlanda produkto (MEP) je 1 elcento ĉiujare. Kiom da jaroj daŭras ĝis (MEP) kvaroblos?

La elcentaĵo estas 1. Por ekhavi 70 oni devas multipliki per 70. Sepdek jaroj do estas la duoblo-tempo. Post alian 70-jara periodo la MEP duobliĝos denove, do entute kvaroblos.

PROKSIMUMAĴO 18.

De ĉiu kvanto de radioaktiva elemento cezio, 2 elcentoj el la atomoj disfalas ĉiujare. Kiom da tempo necesas por malkreskigi la radioaktivecon ĝis unu centono.

Post ĉirkaŭ 35 jaroj la radioaktiveco duoniĝos, post 70 jaroj ĝi kvaroniĝis, kaj post 105 jaroj (35 + 35 + 35 = 105) ĝi estas unu oktono. Por dekonigi ĝin necesas iom pli da tempo, ĉar dekono estas iom malpli ol oktono, sed tute ne alian 35 jaroj, ĉar tiam la aktiveco estas jam dek-ses-ono. Ni taksas, ke dekono postulas 110 jarojn. Ĝis la restanta kvanto siavice dekoniĝos, ankoraŭ 110 jaroj necesas. Entute tio estas 220 jaroj. Tiam la radiantaj atomoj estas unu centono de la originaj.

La tero

Dekmil kilometroj estas unu el la plej gravaj nombroj ekzistantaj. Sur ĝi baziĝas multaj el la sekvaj kalkuloj. Ĝi devenas de la franca revolucio, kiam la Franca akademio de scienco volis tutmonde difinitan mezurunuon. La distanco de la Norda poluso ĝis la ekvatoro estu 10 milionoj de metroj aŭ 10 000 kilometroj. Ili sukcesis. Pri la nun uzita metro validas treege precize ke la distanco ekde poluso ĝis la ekvatoro estas 10 000 da tiaj. La ekvatoro estas sufiĉe precize kvaroble tiun, do 40 000 kilometroj.

POR MEMORI (4)	La distanco de la norda poluso ĝis la ekvatoro estas 10nbsp;000 kilometroj.

PROKSIMUMAĴO 19.

Kiom longa estas la diametro de la tero?

La diametro, la mezuro tra la terglobo , devas ĉiuokaze esti malpli ol 20nbsp;000 kilometroj. La plej mallonga vojo de poluso al poluso ja estas la rekta vojo, ne laŭ la kurba surfaco. Se vi volas scii pli precize kiom malpli ol 20nbsp;000 kilometroj, tiam imagu vide kaj fantazie la rektan distancon tra la tero kaj la duoncirklon laŭsurface. (Oni povas kompari kun sporta areno, kie unu kuras laŭ la ronda parto de la kurejo kaj alia sur la herbaro preter la piedpilka golo.) Kalkuli per π estas facile, sed por praktika kalkulado la tera diametro malofte gravas multe.

Imagu la terglobon

Se vi ne jam rigardis zorge geografian terglobon, faru tion, por ke vi retenos sufiĉe precizan bildon en via kapo de nun. Unue la distancoj:

– Ĉu la kontinentoj estas pli aŭ malpli ol 10nbsp;000 kilometroj?

– Hindujo ja ne atingas de la norda poluso ĝis la ekvatoro, sed kiom da hindujoj oni bezonus meti unu post la alia por plenmeti kaj atingi la tutan vojon. Do kiom longa estas Hindujo?

– Finnlando situas inter la sesdeka kaj la sepdeka latitudo. Naŭdek gradoj estas rekta angulo.Oni kalkulas la angulojn kun la vertico ĉe la centro de la tero, tiel, ke la ekvatoro situas ĉe 0 kaj la norda poluso ĉe 90. Finnlando: 10/90 = 1/9. Ĉu vi vidas, ke Finnlando estas naŭono de 10nbsp;000 kilometroj. Kiom tiu estas?

Poste ni observu la areojn:

– Kiomaj partoj estas maro kaj tero?

– Kiom granda parto estas ĉiu kontinento de la tuta landoareo?

La areo de la tero

Imagu, ke vi havus kvadratajn ŝtofopecojn, tiel grandaj, ke la rando atingus ekzakte de la poluso ĝis la ekvatoro de la geografia terglobo. Nun vi ĉirkaŭvolvu la globon per tiaj kvadratoj. Kiom vi bezonas? Ili devas kovri sed ne kovri duoble; eble vi altranĉos ilin por doni fasonon, kaj uzos la fortonditajn pecojn por kovri restantan parton de la globo.Kiel vi faras estas via afero. Ĝi dependas de kion vi prispertas, sed kiu estas via respondo? Kiom vi bezonas? Ĉu unu sufiĉas? – Ne! – Du? – Ne! – Tri? – Kredeble ne. – Kvar? – Mi ne scias. – Ĉu eble necesas dek? – Ne, ne eĉ ok . – Kiel vi scias? – Mi pensas ĉi tiel: Mi kunkudrus ok tukojn, tiel ke la longo havas kvar kaj la larĝo havas du. Tiu strio atingas ekzakte unu fojon ĉirkaŭ la ekvatoro. Ĝi faras cilindron, kiu atingas super la norda poluso kaj sub la suda poluso. Se oni kuntirus ĝin, ĝi kovrus la tutan tersurfacon, kaj tiam oni havus multe tro da ŝtofo. Ĝi faras grandajn faldoj kaj supre kaj sube. Se oni kudrus laŭfasone, oni ŝparus almenaŭ du el la ok kvadratoj. Mi konjektas, ke kvin pecoj sufiĉas por kovri la terglobon. Kvin pecojn de 10 000 kilometroj · 10 000 kilometroj. Tio bone validas. La ekzakta respondo estas 16/π , kiu estas tre proksima al 5. (Oni kalkulas 15/3 anstataŭe. Ĉar oni rondigis 16 malsupren ĝis 15, kaj π malsupreniĝis 3, t.e. kaj la dividandon kaj la divizoron samdirekten, la eraroj kaŭzitaj de rondigado parte kompensas.)

Mi deziras, ke mi havus grandan lankovrilon – dekmil futoj longan

Kiu povus samtempe kovri

Ĉiun parton de la urbo

Tiel skribis dum la Tang-periodo la ĉina poeto Bo Juyi. Ni en nia fantazio uzis kvin kovrilojn, dekmil kilometroj longaj kaj larĝaj. Ili kovris la tutan mondon.

POR MEMORI (5)	La areo de la tero estas 5 oble 10 000 kilometroj oble 10 000 kilometroj.

PROKSIMUMAĴO 20.

Kiom da areo havus ĉiu persono, se ni dividus la teron egale?

La ŝtofopecoj, kiujn ni uzis, havas la areon 10 000 kilometroj oble 10 000 kilometroj, do la rezulto havas ok nulojn. La tuta tero estas kvin kun ok nuloj post si, 5 · 10⁸. Tiun areon ni dividu per ok miliardoj da homoj (8 · 10⁹). Do ok nuloj en la numeratoro kaj naŭ nuloj en la denominatoro. Ĉar la 7 kaj la 5 estas preskaŭ egalaj, nur dek restas en la denominatoro, post kiam ni eliminis la nulojn abundajn por la frakcio. Tio signifas, ke unu dekono de kvadrata kilometro havus ĉiu persono. Tia areo estas kiel oni dividus kvadratan areon, kiu estas unu kilometron longa kaj unu kilometron larĝa, kaj prenus unu el tiuj strioj. Ĉu vi povas imagi tian vian parcelon, kun maroj kaj tero, kun ĉirkaŭpolusa glacio kaj dezertoj? Verŝajne ne, sed la grandon de la areo oni povas imagi, 100 metroj oble 1000 metroj.

PROKSIMUMAĴO  21.

Ĉu la homdenseco en via lando estas pli granda aŭ pli malgranda ol la homdenseco de la tero?

Deirante de la proporcioj en la rememoro-bildo de la geografia terglobo, ni povas taksi la longon kaj la larĝon. Aux vi eble scias tiujn distancojn pro iuj veturoj, kiujn vi faris. Multipliko donas la areon. La grava afero nun estas teni en ordo la nulojn. La multipliko donis vin grandan nombron. Per tiu vi dividu la loĝantara nombro, kiu ankaŭ verŝajne estas granda nombro. Se vi havas milionoj kaj en la numeratoro kaj en la denominatoro, tiuj foriĝas, kaj restas kun du nombroj, kiujn vi povas facile dividi.

Kompare, sur la tero loĝas ok miliardoj da homoj (naŭ nuloj) sur duono miliardo da kvadratkilometroj (ok nuloj). Tio estas la sama denseco kiel estus, se la duoblo populacio loĝus sur la duobla areo. Do 14 miliardoj dividite per unu miliardo, kio faras 14 sur ĉiu kvadrata kilometro (ĉar la miliardo en la dividato kaj miliardo en la dividanto foriĝas.) Sed ĉu tiu komparo estas ĝusta? Ĉu oni enkalkulu la areon de la maroj, kiam ni kalkulas la mondan homdensecon? Se ne, ni ne dividu per kvin miliardoj sed per du miliardoj, ĉar la ter-areoj estas iom malpli vastaj ol la mar-areoj.

PROKSIMUMAĴO 22.

Kiom da pura sensala akvo kreiĝas sur la tero ĉiun tagon? Kiom da tiu havus ĉiu persono?

Pura sensala akvo (dolĉakvo) formiĝas kiam akvo vaporiĝas de la tero kaj la maro, kaj poste falas kiel pluvo aŭ roso aŭ neĝo. Ni aŭ taksu la vaporiĝon aŭ la precipitaĵon (pluvon k.t.p.). La rezultoj devas esti egalaj, ĉar aliaj vojoj apenaŭ ekzistas en la cirkulado de la akvo.

Pri vaporiĝo oni scias kiel akvokavetoj sur asfalta ebeno forsekiĝas, kaj ke la enhavo en neglektata glaso de akvo malpliigas kelkaj centimetron dum semajno . Tamen grandaj areoj de la tero estas tiel sekaj, ke preskaŭ neniom vaporiĝas el ili. Povas esti tre malfacile taksi kiom estas seka kaj kiom malseka, kaj kiam. Tial ni provu taksi la kvantojn de pluvo anstataŭe.

Pri precipitaĵo plej malsaĝe estas pensi pri sufiĉe longa tempo, ke ĝi certe enhavas kaj pluvegojn kaj nepluvajn periodojn kaj eble neĝadojn. Kiom da milimetroj ili kune donus dum jaro? Oni povas imagi barelon, kiu situas libere, ke ĝi ne kolektas de la tegmento sed ĉion, kiu falas en ĝi. Oni kovras ĝin dum sekaj tagoj, ke preskaŭ neniom vaporiĝas. Ĉu ĝi pleniĝas dum unu jaro, aŭ ĉu ĝi estus nur duonplena? Kiom meznombre dum unu tago?

Supozu, ke nia takso estas, ke unu milimetron la nivelo kreskis meznombre ĉiutage. Se tiu precipitado, pri kiu ni spertas, estas tipa de la tero, ni ekhavas la volumenon per multipliko per la areo de la tero. 5 · 10⁸ kvadratkilometroj · 1 milimetroj = 5 · 10¹⁴ · 0,001 kubmetroj = 5 · 10¹¹ kubmetroj. Por ĉiu persono tio estas 100 kubmetroj tage. (Kiam oni rilatigas tion al sia individua sperto, oni devas, kiel ĉiam, rememori, ke kiu okazas ene de la hejmo ne estas ĉio. Se ĉiom estus disponebla kiel banakvo, tiu kvanto sufiĉus treege bone, sed dolĉakvon bezonas ankaŭ fiŝoj en la lagoj, la kulturejoj, la arbaroj kaj multe pli. Alie iuj kvantoj estas uzataj plurfoje dum ĉiu ciklo.

La sesdeka latitudo

PROKSIMUMAĴO  23.

Kiom longa estas Ruslando?

Se oni kalkulas la meridianojn, oni vidas, ke Ruslando etendas preskaŭ duonan vojon ĉirkaŭ la terglobo. Kiam estas tagmezo en Kaliningrad, preskaŭ estas noktomezo ĉe la Beringa mar-kolo. Ĉu tio signifas, ke Ruslando estas egale longa kiel duono de la distanco ĉirkaŭ la tero, 20 000 kilometroj? – Ne. Ruslando ne situas rekte ĉirkaŭ la globo, kiel la ekvatoro kaj la meridianoj faras, sed laŭ sufiĉe multe pli malgranda cirklo, sufiĉe proksime al la Norda poluso, proksimume laŭ la sesdeka latitudo.

Ĝuste la sesdeka latitudo, kiu pasas tra Oslo, Upsalo, Raseborgo, Sankt-Peterburgo, Alasko ka Kabo Uummannarsuaq (Kap Farvel), estas tre speciala cirklo, ĉar ĝi havas ekzakte duonon de la longo de la ekvatoro. Ruslando do estus 10 000 kilometrojn longa, ne 20 000.

Sed oni povas demandi sin, ĉu oni ne kalkulu Ruslando kiel ankoraŭ pli mallonga. Ĝis nun ni kalkulis laŭ la latitudo, kaj la latitudo estas kurba. Tio eble estas praktika informo pri lando, kiu estas kurba, sed kutime pri lando oni celas la distancon inter la du ekstremaĵoj (sur la surfaco de la tero). Se oni por Ruslando tirus la strekon de Kaliningrad al la Beringa Markolo, tiu streko pasas preskaŭ rekte tra la Norda poluso. La distanco tiaokaze estas tridek naŭdekonoj de la distanco preter la poluso: 30/90 de 10 000 multiplikita per du. Tiu estas ĉirkaŭ 6000 kilometroj.

Oni do de komence decidu, kion oni celas per longo, ĉu la flugilovojo aŭ kvazaŭ oni parolas pri la longo de volviĝinta serpento.

PROKSIMUMAĴO  24.

Kiom estas la areo de Ruslando?

Ruslando etendas inter la kvindeka kaj la sepdeka latitudo dum plejparte de la longo. La diferenco, 20 gradoj, signifas, ke la larĝo estas dudek naŭdek-onoj de la distanco de poluso al ekvatoro. La areo estas 10&nbsp:000 · km 2000 km = dudek milionoj kvadratkilometroj.

Rapido

Kiam oni vidas la fulmon oni kutime nombras 1-2-3-4… ĝis la tondro venas. Tiel oni ekhavas ideon, kiel distace oni estas de la loko, kie la fulmo kaj la tondro estiĝis, ĉar lumo iras treege rapide, dum la sono bezonas tri sekundojn por ĉiu kilometro. Se ni ekzemple povas nombri ĝis ses, tio signifas, ke la centro de la tondra vetero estas du kilometrojn distance.

POR MEMORI (6)	La rapido de sono estas ĉirkaŭ 300 metroj en ĉiu sekundo.

Rapidaj personaviadiloj kutime veturas iom malpli rapide ol la sono, ĉar je son-simila rapido komenciĝas ĝena vibrado en la tuta skeleto de la aviadilo (la fuzelo). Militaj aviadiloj kelkfoje per plenaj gasoj rapide trapasas tiun malagrablan rapid-intervalon, kaj povas poste veturi trankvile pluen per multe pli alta rapido.

PROKSIMUMAĴO  25.

La suno leviĝas en la oriento, marŝas tra la ĉielo, kaj vespere ĝi malleviĝas okcidenten. Ĉu eblas per aviadilo persekuti la sunon, atingi ĝin kaj en plena sunbrilo ĉirkaŭflugi la teron?

Jes, aviadilo povas en konkuro atingi la sunon (kompreneble veturanta en pli interna kur-vego ol la suno), se ĝi tenas sin sufiĉe proksime al la poluso, tiel ke la cirklo, laŭ kiu ĝi flugas okcidenten, estu sufiĉe malgranda. Sed, se ĝi devas esti tre proksime al la poluso, oni povas dubi, ĉu ĝi vere vidis la sunon levi kaj ”marŝi tra la ĉielo”, kiel diris la demando. Ĝi eble pli ĝuste treniĝis laŭ la horizonto.

Supozu, ke la aviadilo laŭiras la 60-an latitudon. Tie, la suno vere leviĝas kaj malleviĝas, precipe somere. Por povi konkuri kun la suno la aviadilo devas flugi 20 000 km en unu rondiro de la suno, 24 horoj. Tio estas malpli ol 1000 km/h. Ni volas kompari tion kun la rapido de sono, kiu estas 300 metroj en unu sekundo. En unu horo la sono kuras 60 · 60 · 300 metroj, kiu estas iom pli ol 1000 km/h. Se la aviadilo vere povus flugi per sona rapido, ĝi apenaŭ povus gajni la venkon, sed per personaviadilo, kiu estas iom pli malrapida, oni prefere ekpersekutu la okcidentan sunon sur iom pli norda latitudo. Respondo: Jes, eblas.

Denseco

Denso, kompakteco, estas la sama kiel volumena maso.Unu litro pezas unu kilogramon. Tio validas treege bone pri akvo.

Tio ankaŭ validas pri aliaj likvoj, ne nur tiaj kiel lakto, kiu konsistas plejparte el akvo, sed ankaŭ pri benzino kaj aliaj. (Nur pri hidrargo kaj aliaj fandiĝintaj metaloj oni devas atenti, ke ies proksimumaj kalkuloj ne ekhavu troajn erarojn.)

En proksimuma kalkulo oni povas kalkuli per unu kilogramo por ĉiu litro eĉ pri solidoj substancoj. Ŝtono estas inter la plej pezaj nemetaloj. La denso de granito estas preskaŭ 3 kilogramoj/litro. Tiun nombron oni povas uzi, se oni taksas 1 kg/litro tro kruda. Brikoj estas pli malpezaj. Pri preskaŭ ĉiuj metaloj oni venas pli proksimen al la realo, se oni multiplikas la denso de la akvo per dek. Tio validas pri ŝtalo kaj kupro, sed ankaŭ pri la superpeza j uranio kaj oro. La terglobo havas denson ĉirkaŭ 5, kiel aliaj solidaj ĉielaj korpoj en nia suna sistemo. Koncerne porozegaj materialoj kiel ŝaŭmplasto kalkulo per 1 kg/litro estus nesaĝa. Anstataŭe imagu kiel bloko de tiu materialo flosas sur la akvo. Kiom de la bloko estas sub la akvo? Se dekono, tiam la volumena maso estas unu dekono kompare kun tiu de la akvo.

Pri gasoj oni ne povas kalkuli per unu litro kiel unu kilogramo. En gaso la molekuloj ne situas dense unu apud la alia, sed je distancoj, kiuj estas dekoble la diametro de la molekuloj. Se oni volus porfantazie plenigi tute tiun malplenan spacon, necesus miloble la substanco en la gaso (dek laŭlonge oble dek laŭlarĝe oble dek laŭalte) . Likva akvo do estas miloble tiel densa kiel gaso.

La regulo pri gasoj do estas: Dividu la denso de la akvo per mil. Anstataŭ 1 kg/litro fariĝas 1 g/litro. Aux, se oni kalkulas per 1 kg: Tiu kilogramo plenigas kiel gazo plenan kubmetron, kaj ne kubdecimetron kiel likva akvo. Tio validas tre precize pri plej multajn gasoj, kiel oksigeno, nitrogeno kaj aero, sed sufiĉe bone ankaŭ pri aliaj gasoj – se la premo kaj la temperaturo ne estas ekstremaj. Esceptoj estas hidrogeno kaj heliumo, kiuj estas pli malpezaj.

POR MEMORI (7)	La denso de solidaj kaj likvaj materialoj estas ĉirkaŭ 1 kg/litro.

POR MEMORI (8)	La denso de gasoj estas ĉirkaŭ 1 kg/kubmetro. (Tio estas 1 g/litro).

PROKSIMUMAĴO 26.

Kiom pezas la aero en bicikla pneŭo

Unue ni elpensu kiom granda estas la volumeno. Imagu, ke vi distondas la aertubon de la pneŭo kaj enverŝas akvon. Ĉu estas spaco por unu taso da akvo, por unu litro, por unu sitelo? – Supozu unu litro. Unu litro da likvo pezas unu kilogramon, unu litro da gaso pezas unu milono de tio, do unu gramon.

Aux estas eble la premo en la pneŭo tiel granda, ke oni ne povas supozi la normalan, ke la denso de la gaso estas unu milono de la akvo? Pripensu, kiel vi faras kiam vi plenblovas la pneŭon: Vi kunpremas la aervolumeno en la pumpilo. De komence la denso estis 1 gramo/litro. Kiam vi kunpresas ĝin duone – 2 gramoj/litro. Ankoraŭ neniu aero eniras en la pneŭo. Nur kiam oni premas la pumpilstangon ĝis kvarono de la origina volumeno, la aero komencas enflui. Tio signifus, ke la litro ene en la pneŭo pezas 4 gramojn. Por konkludi tiele, la pumpado devas esti farita per kuglohava valvo, kaj ne per hoshava valvo, ĉar la hoso tiom rezistas la aeron, ke necesas multe pli granda premo en la pumpilo ol en la pneŭo ĝis la aero komencas flui. Ĉar ni ne deziras detalojn, ni kontentiĝas per diri, ke la aero en la pneŭo pezas kelkajn gramojn.

La atmosfero kaj la maroj

Se vi de via lernejaj tempo ankoraŭ memoras la altitudon de la plej alta monto de la tero, tio estas bona referenco, kiam ni priparolas la dikon de la atmosfero. Himalajo estas preskaŭ dek kilometrojn alta. – ne multe, komparate sur la terglobo kun la dek milionoj ekde la poluso ĝis la ekvatoro.

Sur Himalajo normale la suno brilas. Tial ni komprenas, ke la nuboj estas pli malaltaj. Aviadiloj tamen ofte iras iomete pli alte.

La dikeco de la atmosfero

Kiam oni diskutas la tutmondajn klimatajn problemojn oni bezonas kompari kvantojn de ellasojn kun la volumeno de la tuta atmosfero. Ni scias la areon de la terglobo; por havigi la aero-volumenon, ni multipliki per la diko de la aera tavolo. Sed ne eblas diri kiom dika estas la atmosfero vere, ĉar ĝi maldensiĝas iom post iom. En lernolibroj oni trovas tre grandajn nombrojn, kaj partigo en troposferon, stratosferon kaj jonosferon, sed ĉi ĉio estas negrava se oni volas kalkuli la proporcioj de la miksaĵo, ĉar en la plej altaj tavoloj la aero estas tiel maldensegaj, ke ĝi partoprenas per tre malmultaj molekuloj en la miksaĵo. Vere sufiĉas se oni supreniras la montaron Himalajo por sperti ke la denso estas nur la duona. Se la denso daŭre malkreskus tiel, la denso estus nulo ĉe la duobla Himalajo-alto, kaj ankaŭ praktike estas preskaŭ tiel. Oni do povus kalkuli per la duobla Himalaja-alto kaj kiel mez-premo uzi tiun, kia ĝi estas sur la monto. Sed oni ankaŭ povas kalkuli per meza aera denso, kiel ĉi tie malsupre sur niveloj, kie ni plej multaj homoj vivas, kaj anstataŭe duonan tavolodikon, do kiel Himalajo, dek kilometroj.

Artifiko por personoj kiuj havas sperton pri subakviĝo: Ofte ili jam scias, ke la premo kreskas ĝis la duobla, kiam oni plonĝas 10 metrojn sub la akva surfaco. (Aerplena balono ekzemple ŝrumpas ĝis sia duona volumeno 10 metrojn sub la surfaco.) Tio montras, ke la aero, kiu prenas nin estas kiel dek metroj da akvo. Ĉar la denso de la aero, kiel jam lernite, estas milono de tiu de la akvo, la aerotavolo estas 1000 oble 10 metro, do 10 km.

POR MEMORI (9)	Oni povas rigardi la atmosferon kiel kvanto de aero, kiu estas dek kilometrojn dika kaj havas la denson de po 1 kg en ĉiu kubmetro.

La profundo de la maroj

Grandaj partoj de la maroj estas 4 km profundaj kaj tiu ankaŭ estas la meznombra profundo. Oni povas memori tion per pensi, ke oni fortranĉus Himalajon laŭ la bazo ĉe la marnivelo, kaj starigus la tutan monton sur la marfundo. Oni nun imagu kiel la duono de la monto elstaras, videblas.

Oni ankaŭ povas memori tion per pripensi, ke aero kovras la tutan surfacon de la tero per dek-kilometra tavolo, dum akvo kovras duonon de la surfaco per duone dika tavolo.

POR MEMORI (10)	La meznombra profundo de la maroj de la mondo estas 4 km.

PROKSIMAĴO  27.

Kiom da akvo enhavas la maroj?

Ni memoras, ke la aero de la terglobo estas 5 · 10⁸ kvadratkilometroj. La marsurfaco estas pli ol la duono: 3 · 10⁸ kvadratkilometroj. Multiplikata per la meznombra profundo tiu fariĝas 12 · 10⁸ kubkilometroj. (Tiu dek-duo ni eble ne volas rondigi al 10, ĉar dek estus, se la maroj kovrus precize la duonon de la tersurfaco, kaj ni scias ke estas pli. Sed konsiderante ke la profundo 4 km estas necerta estas bone respondi per malavara intervalo: "10⁹ kubkilometroj aŭ ebla la duobla"

PROKSIMAĴO  28.

Ĉu povas esti, ke granda parto de la akvo de la tero estas en nuboj, lagoj aŭ kiel subtera akvo?

La diko de la atmosfero estas nur duoble la profundo de la maroj, kaj la nuboj okupas nur malgrandegan parton de ĝi, kaj aldone ili tute ne estas tiel densaj kiel la maroj; pro tio la kvanto da akvo en la nuboj nepre estas malgravega kompare kun la marakvo. (La sama rezonado aplikiĝas al la humideco de la aero.) Riverojn kaj lagojn oni povas vidi sur la terglobo, ke iliaj areo estas bagatela kompare kun la maroj. Ni ankaŭ scias, ke kvankam malgrandaj lagoj povas esti multaj, ili malofte okupas pli da surfaco ol la tero inter ili. Kaj ili ne povas esti pli profundaj ol la maroj. Tio konvinkas nin, ke iliaj volumeno estas multe pli malgranda ol la volumeno de la maroj.

Fine ni nun konsideros la subteran akvon, aŭ fundakvon, kiu estas la akvo inter la grundaj partikuloj suben ĝis la senfenda rokgrundo: Ni scias, ke la roko ofte videblas. Tial ne estas verŝajne, ke la profundo de la rokgrundo estus multoble la profundo de la maroj, kio necesus por ebligi la akvon, kiu nur okupas la poroj inter la eroj, esti komparebla kun la volumenoj de la maroj.

Sekve la respondo de la demando estas: Ne, la maroj enhavas multe pli da akvo ol la aliaj kvantoj sur la tero.

PROKSIMAĴO  29.

Kiom granda parto de la akvo de la tero estas glaciiĝinta?

La plej grandaj areoj de glacio troviĝas en Arkto, en Gronlando kaj en Antarkto. Se oni provas rigardi tiujn areojn per sia interna vidaĵo, oni vidas, ke ili kune estas multe malpli grandaj ol unu el la kvadrataj ŝtofpecojn, de kiuj ni bezonis kvin por kovri la tutan terglobon, aŭ tri por kovri la marsurfacon. Eble sufiĉas triono de unu kvadrato por la glacio. Tio indikas, ke unu dekono de la akva surfaco estas glaciiĝinta. Se hazarde okazus, ke la glacia kovro estus de la sama dikeco, kiel la profundo de la maroj, tiam ni tuj povus diri, ke unu triono de la akvo estas glaciiĝinta. (Ke tiu, kiu ekzistas en nuboj, lagoj, rivieroj kaj subtere, estas sensignifa, ni jam konstatis.)

Ĉu ni scias ion pri la dikeco de la glacia kovro? Kiel la plej alta montaro de la mondo oni kutimas mencii Himalajon, ne iu montopinto en Arkto, Antarkto aŭ Gronlando, do tiuj tri glacia ebenaĵoj certe ne havas altitudo kiel 10 km. La sekva demando estas, ĝis kiel profunde ili atingas. Kaj Antarkto kaj Gronlando havas ”tero” sub la glacio, do io kio estas super la nivelo de la marsurfaco. Nur la glacio de Arkto povas etendi multe sub tio. La marsurfaco meznombre estas 4 kilometrojn super la grundo. Ĉio ĉi kune kuraĝigas nin al la konjekto, ke la glaciokovro ne estas pli ol kelkaj kilometroj, kaj, do malpli ol la meznombra profundo de la maroj, kaj do multe pli malmulte ol dekono estas glaciiĝinta. (Tiuj, kiuj kalkulis tion pli precize kutime diras, ke la glaciiĝintaj partoj estas 2 elcentoj de la monda akvo. Ni do vidas, ke oni povas taksi sufiĉe bone eĉ sen iun ajn scion pri glaciologio.)

PROKSIMAĴO  30.

La volumeno de la tero

Kiam ni parolis pri la areo de la tero, ni imagis, ke ni kovrus la surfacon per kvadrataj pecoj, kies randoj estus kiel la distanco poluso-ekvatoro, kaj ni trovis, ke necesas kvin kvadratoj. Nun ni imagu la samajn kvadratojn – eble el iom pli rigida materialo ol ŝtofopecoj, tiel ke oni povas konstrui kuban skatolon el ili. La demando nun estas: Ĉ la volumeno de la tero trovas sufiĉe loko en tiu kubo? Vi eble volas pensi, ke ni aliformas la terglobon, kiel panpaston, ke ĝi havas kuban formon por kongrui kun la skatolo. Ĉu ĝi plenigas la dekmil-kilometra skatolon aŭ ne?

Se vi malsukcesas decidi, kiu estas pli granda, la dekmil-kilometra kubo aŭ la tero, tio estas tute komprenebla. Ili estas tre proksimaj – tiel proksimaj, ke oni facile memoras tiun koincidon, se oni unu fojon pripensis ĝin, eĉ se ĝi ne estas tre grava fakto por memori. La volumeno de la tero do estas dekmil kilometroj oble dekmil kilometroj oble dekmil kilometroj, do biliono da kubkilometroj. (1 · 10⁴kilometroj · 1 · 10⁴ kilometroj · 1 · 10⁴ kilometroj = 1 · 10¹² kubkilometroj)

PROKSIMAĴO  31.

Laŭ unu ofte citata praktika regulo la atmosfero estas unu milono de la hidrosfero, kiu siavice estas milono de la geosfero. Ĉu tio validas?

Oni povas tuj kompreni, ke la regulo ne validas se oni kalkulas la volumenojn. La akva tavolo de la maroj ja estas nur duono de la atmosfero je? diko, kaj la la maroj ankaŭ kovras nur parton de la surfaco de la tero. Do ekzistas pli da aero, ne malpli, kiel la regulo diras.

Se oni anstataŭe kalkulas la masojn (la kilogramojn) oni devas dividi la aera volumeno per mil, kaj tiam la regulo validas sufiĉe pri gaso kaj likvo. Eraras nur per faktoro 2 pro tio, ke la tavoloj ne estas de la sama diko, kaj alia faktoro, de malpli ol 2, pro tio, ke la akva tavolo ne kovras la tutan globon.

Nun rigardu la solidan parton de la tero. La volumeno estas, laŭ la antaŭa proksimumaĵo kiel kubo kun la dekmil-kilometraj eĝoj, dum la likvo-volumeno estas kiel tri kvadrataj dekmil-kilometrajn blokoj, kiuj estas kvarkilometrojn dikaj. Ĉar la denso de la terglobo estas kvinoble la akva denso, oni devas por komparo preni kvin blokoj anstataŭ unu. Kvin kuboj kaj tri blokoj signifas iom malpli ol unu kubo por ĉiu bloko. Du eĝoj estas egalaj en la bloko kaj la kubo. La masoj proporcias kiel la tria eĝo de la bloko (kvar kilometroj) al la eĝo de la kubo (dekmil kilometroj). La proporcio estas 1:2000, sufiĉe bone, ke ni akceptu la praktikan regulon, kiu diras 1:1000.

PROKSIMAĴO  32.

Kiom ĉiu havus, se ni dividus egale la akvon kaj la aeron de la mondo?

Akvo: Laŭ antaŭe iom pli ol 1 · 10⁹ kubkilometroj da akvo dividote per 7 · 10⁹ personoj. Tio donas ĉirkaŭ unu sepono de kubkilometro da akvo al ĉiu persono.

Aero: Ni povas eliri de ĉi tiu supre kalkulita individua akvovolumeno por kalkuli ies porcion de aero. Kompare kun la akvotavolo la aerotavolo havas duopan dikon kaj etendiĝas ankaŭ super la kontinentoj. La volumeno do estas kvaroble la akva volumeno. Tio estas preskaŭ unu kubkilometro.

Alternativa kalkulmaniero: La tera surfaco kovrita per dek kilometran aertavolo donas la aeran volumenon. Ĝi estas 5 · 10⁸ · 10 kubkilometroj da aero. Dividite per 7 · 10⁹ ĝi faras iom malpli ol unu kubkilometro por ĉiu persono.

Tria pensmaniero: Pripensu vian individuan parcelon, kies areo ni kalkulis antaŭe. Kiu areo ĝi havas. La apartenanta aero etendiĝas dek kilometrojn supren.

La produktado de la biosfero

PROKSIMAĴO  33.

Kia frakcio de la tera surfaco estas necesa por nutri la loĝantaron.

Rememoru la antaŭan kalkulon, kiel granda parto de la tersurfaco vi havus se ni dividus la aeron egale. Pripensu ke vi ekkulturus parton de via parcelo. Ne gravas kiajn plantojn vi elektas. Ĉu vi spertas pri rikolto de riboj, vi imagu ke vi plantas riboarbedojn. KIom granda areo bezonas ĉiu arbedo? Kiom da litroj vi rikoltos ĉiun jaron de tiu arbedo. Kiom da arbedoj vi bezonas por havi 1 kg da manĝaĵo ĉiutage. Ne pensu, ke vi devas elteni nur-riban dieton la tutan jaron. La riboj nur estas la deirpunkto de la kalkulo. La diferenco inter la produktadokvantoj de malsamaj plantoj estas tiom malgranda, ke ĝi gravas malmulte en kruda proksimumaĵo kiel ĉi tiu. Se vi preferas karoto-kalkulado, faru tian. Ĉi tie sekvas unu varianto:

La trunketoj sur bonega grenkampo staras 5 cm dense.Sur kvadratkilometra areo tio estas 20 laŭlonge kaj dudek laŭlarĝe, t.e. 400 trunketoj. Ĉiu trunketo portas kelkajn kubcentimetrojn da grajno, do kelkajn gramojn. Por ĉiu kvadratkilometro tio estas ĉirkaŭ unu kilogramo.

En unu jaro vi manĝas ĉirkaŭ 365 kilogramojn. Vi do devas ekkulturi 365 kvadratmetrojn de via parcelo, kiu estas ĉirkaŭ dekono de kvadratkilometro. Tio estas kvar promiloj. Tio estas kalkulita por via tuta parcelo, kiu ja parte konsistas el maroj kaj similaj.

La karbono en biomaso kaj en karbona dioksido

En ĉi tiu ĉapitro ni faros krudajn proksimumadojn. Ni kalkulos kvazaŭ stearino, biomaso kaj karbona dioksido enhavas egale multe da karbono. Ni do ignoros, ke ili havas malsamajn elcentaĵojn de akvo. Ni ankaŭ ignoros, ke la molekuloj en la seka substanco enhavas multe da aliaj elementoj, ne nur karbonon. La eraro malofte estos eĉ faktoro kvar, kio estas malpli ol la erarojn ni devas akcepti en iuj proksimumoj pri areo kaj produktado.

Ke ni volas kalkuli pri ĉi tiuj aferoj, kvankam ni scias, ke la rezultoj fariĝos iom neprecizaj, estas ĉar tiaj problemoj estas tro gravaj por esti diskutate sen ĝenerala kompreno pri la proporcioj. Tre verŝajne la monda klimato ŝanĝos draste, se aldoniĝas en la atmosferon kvanto da karbona dioksido, kiu estas kelka dekono de elmilo de la atmosfero. La procesoj, kiuj kreas la klimaton, estas tre komplikaj; por povi taksi iun ajn, la scienculoj devas malkompliki. Ĉar oni ĉiuokaze devas plisimpligi, eĉ krudaj proksimumadoj pri tio, kion oni konas, povas esti klarigaj. Samtempe ni devas atenti, ke aliaj faktoroj povas esti malpli facile takseblaj por amatoro.

PROKSIMUMAĴO 34.

Kiom povas la koncentriteco fariĝas en domo, kie multaj stearinaj kandeloj brulis?

Supozu, ke la ĉambro estas 25 kvadratmetrojn aree kaj du metrojn alta. Ni neniam aerumas ĝin dum unu tagnokto kaj brulas dum tiu tagnokto tute unu kilogramon da stearinaj kandeloj. La stearino plejparte konsistas el karbono, kiu post brulado estas en la karbona dioksido. Se ni ne ĝenas nin pri la proporciaj detaloj, ni povas diri, ke 1 kg stearino faras kelkan kilogramon da karbona dioksido, do kvanton, kiu plenumus ĉirkaŭ unu kubmetron. Distribuite en la ĉambro, kiu estas 2 · 25 kubmetroj la koncentriteco fariĝas 1 / 50 = 2 elcentoj.

PROKSIMUMAĴO  35.

Kiu estas pli, la herbo sur herbejo aŭ la arboj sur egala areo de arbaro?

Imagu, ke vi falĉas la herbon. Kiom dika tavolo de herbo tiam estiĝas sur la grundo?

Pri la arboj estas iom pli malfacile imagi, kiom dika la tavolo de ligno estiĝus, se oni dehakus la arbareton. Supozu, ke la arboj staras laŭ kvadrata desegnaĵo, en distanco de 4 metrojn: Unue supozu ankaŭ, ke la arboj estas nur kvar metrojn altaj. Tiaokaze oni povus post hakado tiri la trunkojn paralelen, unu post alian, kun pinto al la la dika fino, ke oni ekhavus seninterrompajn vicojn, je distanco de kvar metroj. Se oni nun ŝanĝas la premisoj tiel, ke la arboj estas kvaroble longaj, kio estas pli verŝajna, tiam la trunkopartoj povus kuŝi kvaroble dense, tio estas ĉiu trunko distas unu metron de la sekva. Ni supozu, ke la trunkoj estas duonmetron dikaj, inkludite tien ankaŭ la volumenon de la branĉoj. Duonmetaj arboj kun duonmetraj spacoj inter ili, tio estas averaĝe kvaronmetron dika tavolo, se la arboj havas kvadrataj kversekcoj, alie ion malpli. Tio estas sufiĉe multe pli ol la falĉita herbo sur la herbejo, se oni kunpremas ĝin.

Kaj tion oni eble antaŭvidis. La arbaro ja havis 50 jarojn pli de la tempo por kreski, kaj dum tiu tempo nur kelkaj folioj kaj branĉetoj malaperis, dum multe el la karbono, kiujn ili kolektis, restas en la trunkoj.

PROKSIMUMAĴO  36.

Se ĉiuj arbaroj en la mondo forbrulus, kiom kreskus la koncentriteco de karbona dioksido en la aero pro tio?

Kiel antaŭe pri la stearinaj kandeloj, ni povas supozi, ke la maso de la karbona dioksido fariĝas simila al la maso de la forbrulitaj arbaroj. Se la karbona dioksido estus en likva stato, ankaŭ la densoj estus similaj, kaj la karbona dioksido kovrus la brulejojn per kelkajn decimetrojn dikan tavolon, same kiel la dehakitaj arboj. Se oni sternus tiun tavolon egale sur la tutan terglobon, ĝi fariĝis nur centimetron dika, ĉar verŝajne ne eĉ unu dekono de la tersurfaco estis kovrita de arbaroj antaŭ la granda brulo. Se oni sammaniere kondensus la atmosferon, por povi kompari ĝin kun la tutmonda elarba kovraĵo, ĝi kuntiriĝus miloble, ĝis dek metroj. Unu centimetro kompare kun dek metroj estas milono. La kreiĝinta karbona dioksido do estus unu milono de la atmosfero. Nia takso estas ke la koncentriteco de la karbona dioksido kreskus kelkan elmil-unuon, se ĉiuj arbaroj forbrulus.

La koncentriteco de la karbona dioksido en la aero dum la lastaj jarcentoj kreskis. Por povi kompari la kvanton de karbona dioksido en la aero kun aliaj karbo-enhavaj substancoj, saĝe estas noti al si en la memoro kiom granda estas la nuna nuna koncentriteco.

POR MEMORI (11)	La nuna koncentriteco de karbona dioksido en la aero estas 0,4 ‰ (nulu komo kvar elmiloj laŭ volumeno).

PROKSIMUMAĴO  37.

Se oni volas malkreski la atmosferan koncentritecon de karbona dioksido ĝis la nivelo de la 19-a jarcento, kiu estis 0,3 elmiloj, per fiksi la karbonon en arbaj trunkoj, kiom oni bezonus tiam pligrandigi la nunan arbaran areon?

En la antaŭa proksimumaĵo ni taksis, ke la tuta nuna arbaro estas analoga al unu elmilo-unuo de karbona dioksido, kaj ke ĝi kovras dekonon de la tera surfaco. La pligrandigo de la arba areo necesa por malkreski la karbonan dioksidon per dekonan elmil-unuon, estas dekono de dekono, do centono, de la tera surfaco. Tio estas 5 · 10⁶ kvadratkilometroj.Tiom granda nova arbar-areo povus in si teni la dum la dudeka jarcento estiĝintan dekonon de elmilo-unuon de karbona dioksido, kiam la arbaro plenkreskos.

PROKSIMUMAĴO  38.

Kelkfoje in la debato estas proponite, ke oni kolektu la jam dum la dudeka jarcento ellasitan karbonan dioksidon kaj enmagazenigu ĝin en kavernegojn aŭ artefaritajn rokoĉambrojn. Kiom grandajn ĉambroj oni bezonus?

Laŭ antaŭa taksado la neta kvanto de karbona dioksido ellasita dum la dudeka jarcento estis dekono de elmilo, do unu dekmil-ono. La alto de la atmosfero dividita per 10 000 donas la alton unu metro. Sekve, se la kaverno estas unu metron alta, ĝi devas etendi sin sub la tutan tersurfaco. Tio vere subfosus nin, do ni konstruu pli altajn ĉambrojn. cent metrojn altaj kavernoj etendus sin sub centonon de la tera surfaco.

Ĉio ĉi validas, se oni magazenigas la karbonan dioksidon kiel gaso sub normala atmosfera premo. Se vi povas kompreni aŭ malvarmigi ĝin, ke ĝi estas miloble pli densa (likvida aŭ solida), la kavernoj povas esti milono de tio grando.

PROKSIMUMAĴO  39.

Alia propono por solvi la karbondioksida problemo estas fiksi la karbonon en ligno per arbarkulture kaj uzi la lignon por konstrui domojn. Kiom da konstruaĵo ĉiu homo tiam havos, krom la nuna kvanto.

Ni antaŭe taksis, ke ĉirkaŭ dek personoj vivas sur ĉiu kvadratkilometro. Ni ankaŭ taksis, ke la karbona dioksido de ĉiu arbaro en la mondo estus unu elmilo de la aero, kaj en kumpremita stato fariĝus unu centimetron dika tavolo sur la tero, kaj do ankaŭ sur mia individua dekona kvadratkilometro. Se ni povus transformi duonon de tio al konstruligno, ĝi sufiĉus por malpliigi la koncentritecon de karbona dioksido al la nivelo de la dek-naŭa jarcento. Tio estas milimetro. Tion milimetron longan lignan lamenon mi do havas por mia domkonstruo. Unu kilometron longa kaj cent metrojn larĝa. Se mi anstataŭe elektus decimetron dikan platon ĝi estus dek metroj oble cent metroj. Tiom grandan, stabilan tegmenton mi povus konstrui, sed ĉar mi deziras ankaŭ iom da muroj, la domo verŝajne estus malpli ol mil kvadratmetroj.

Alia maniero por taksi kiom da ligno ĉiu persono devas eluzi: La kresko de la karbona dioksido dum la dudekaj jaroj devenas de fosiliaj brulmaterialo. Provu imagi kiom da benzino, karbo, kaj petrolo vi kaj viaj prapatroj eluzis dum tio cent jaroj. Ĉirkaŭ la sama volumenon vi havas por via konstruo.

PROKSIMUMAĴO  40.

Laŭ certa statistika informo, dum 1997 estis ellasitaj 23 000 megatunoj da karbona dioksido el fosiliaj brulmaterialo. Ĉu tio povas esti vera?

Tiom da tempo jam pasis ekde 1979 ke la nombro de loĝantaroj ŝanĝis iom, sed la eraro ne estos tro grava, se ni kiel kutime kalkulas per ok miliardoj. La statistika nombro dividite per ok miliardoj faras 3 tunoj por ĉiu loĝanto. Sed kion tio diras – tri tunoj por mi kaj tri tunoj por ĉiu? Posedanto de domo en malvarma lando eble komparas kun sia konsumo de petrolo por hejtado, motoristo kun sia benzino-uzo, sed en tiaj okazoj oni nur malfacile povas dedukti ion de tio, kio okazas en la familio kaj hejmo. Granda parto de la brulaĵo estas uzita en fabrikoj kaj aliaj instalaĵoj. Ankaŭ la uzitaj kvantoj estas treege diferencaj inter homoj.

Anstataŭe komparu tiun statistikon kun tio, pri kiu ni antaŭe kalkulis – ke la karbona dioksida koncentriteco dum la dudeka jarcento kreskis ekde 0,3 ĝis 0,4 elmilo. La krome estiĝinta karbona dioksido dum tiuj cent jaroj estas unu dekmilono de la volumo de la aero, kiu estas 5 · 10¹⁴ kvadratmetroj · 10 000 metroj. Por ĉiu el la cent jaroj tio estas 5 · 10¹² kilogramoj = 5000 megatunoj. Tio bone kongruas kun la statistika nombro 23 000 megatunoj dum 1997. La ellasitaj kvantoj ja kreskis dum la jarcento, do ĉe fino de la 90-aj jaroj la nombro estu kelkoble la meznombro. Ankaŭ povas esti, ke parto de la ellasita karbona dioksido dissolviĝis en la akvo de la maroj.

PROKSIMUMAĴO  41.

Laŭ unu statistiko la tutmonda produktadokvanto de biomaso estas ”55 · 109 tunoj da oleoekvivalentoj porjare daŭrigeble”. Laŭ alia statistiko la jara produktadokvanto de biomaso estas 200 000 megatunoj. Ĉu tiuj statistikoj validas?

Biomaso signifas ĉiom da vivanta (ĵus vivanta) substanco. Komence ni povas konstati, ke la du nombroj estas sufiĉe similaj, 55 kaj 200 gigatunoj. La diferenco povas deveni de tiu, ke oni ŝanĝis unuan por oleo, kiu estas iom pli energio-densa, kaj ankaŭ nur inkludis tiom, kiom estas daŭrigebla. Oni ankaŭ ne diris ĉu la biomaso estas kalkulita kiel seka substanco aŭ entute. Pri tiom delikataj diferencoj ni havas nenian ŝancon decidi per niaj biomasotaksoj. Por esti certa ke la statistikoj eraras, nia proksimumaĵo devus esti almenaŭ per faktoro 100 diferenca.

Ideon pri la monda produktado de biomaso ni ekhavas, se ni pensas, ke la surfaco de la tero estas kovrita per greno, kiu donas 1 kg por ĉiu kvadratmetro. Antaŭe ni elkalkulis tion, kiel nutraĵo. La pajlo kaj la radikoj aldoniĝas [gbg har flera träffar] sed ne ŝanĝas la rezulton multe. Do, unu miliono da kilogramoj sur ĉiu kvadratkilometro. Sur la tuta tera areo tio estas 10⁶ · 5 · 10⁸ kg, se maroj, montoj, dezertoj kaj ĝangalos k.t.p. meznombre produktas simile al nia imagita [finns i gbg] grenkampo. Tiu estas 500 gigatunoj, kio estas simila al la prezentitaj statistikaj nombroj.

Alia maniero por taksi la kvanton: Ni antaŭe imagis, ke ni falĉis la herbon sur herbejo. Eble kiel unu centimetro dikan tavolon tiu herbo sternas tie, se ni platigas ĝin per la piedoj. Se la tuta tero produktus kiel la herbejo, la volumeno estus 10⁶ · 5 · 10⁸ kvadratmetroj oble unu centimetro, kiu estas 5 · 10¹² kubmetroj, aŭ la sama nombro de tunoj. Do 5000 gigatunoj, kiu estas pli ol la statistikaj nombroj, sed ne sufiĉe multe pli por povi diri, ke ili ne validas. Pli ĝuste ni pripensu, ĉu nia takso de la herba tavolo estas celtrafa. Eble ni devus piedpremi pli forte la herbon, antaŭ ol ni mezuris ĝia dikeco. Eble tiu herbejo ne estas tipa por ĉiu vegetaĵaro de la tero.

PROKSIMUMAĴO  42.

Kiu estas la koncentriteco de la karbona dioksido en ĉambro, kie unu persono restadas dum unu tagnokto?

Kiam ni antaŭe diskutis la produktokvanton de karbona dioksido de brulantaj stearinaj kandeloj, ni supozis pri 50 kubmetra ĉambro kaj unu kilogramoj da stearino ĉiun tagon. Vi nun faras la saman; ni nur ŝanĝas la stearino por unu kilogramo da manĝaĵo, kiu estas kiom homo kutimas manĝi kaj ”forbruligi”. Unu kilogramo de la unua kaj unu kilogramo de la dua, ambaŭ donas kelkan kilogramon da karbona dioksido. Disdividite inter la 50 kilogramoj da aero en la ĉambro, tiu estas 2 elcentoj.

PROKSIMUMAĴO  43.

Kiel granda estas la koncentriteco de la aero, kion mi elspiras?

Mi manĝas unu kilogramon da manĝaĵo ĉiun tagnokton, kiu donas kilogramon post forbrulo en la korpo. Tiu kvanto estas porciigita al ĉiu mia spiro dum tiuj 24 horoj. La volumenon de unu elspiro oni povas kontroli per elspiro en plastan saketon. Ni diru, ke ĝi estas unu litro. Kun dudek elspiroj ĉiuhore, tute 20 · 60 · 24 litroj da aero estas elspirataj, kiu estas 30 000 litroj kaj pezas tridek kilogramojn. 1 kg / 30 kg = 3 elcentoj.

Manĝaĵo kaj energio

Ni antaŭe diskutis la graveco de la kreskaĵaro, ke ĝi fiksas karbonon, kaj per tio malhelpas, ke la koncentriteco de karbona dioksido en la atmosfero fariĝu tro granda. Ni kompreneble ankaŭ havas utilon de kreskaĵoj por brulaĵo kaj manĝaĵo.

Kiom da energio donas biomaso? Tion ni povas legi sur la enpakaĵoj kaj envolvaĵoj de preskaŭ ĉiu ajn nutra produkto. La mezur-unuo kutime estas kiloĵulo (kJ). En multaj landoj tia statistiko ĉiam celas 100 gramo da tia nutraĵo, kiu estas en la pakaĵo. Tial estas oportune pripensi 100 gramajn porciojn, kiam temas pri energio. Tiam oni havas memorhelpon de siaj vidaj bildoj de tiaj pakaĵoj, kiujn oni ofte vidas. Oni ankaŭ havas ĉiutagan ripeton, kiam oni ekzemple vidas la paketon de matenmanĝaj maiz-folietoj aŭ simila grenaj flokoj antaŭ si sur la tablo.

Oni trovas, ke la nombro estas iom pli ol 1000 kiloĵuloj pri ĉiuj farunoj, grioj, pizoj kaj pano – ĉia manĝaĵo, kiu konsistas plejparte el karbonhidrato kaj entenas nur malmulte da akvo. La sama kvanto da energio – ĉirkaŭ 1000 kJ – donas cent gramoj da ligno, torfo aŭ pajlo, kiam ĝi brulas. Graso donas la duoblan, kaj petrolo kaj benzino ankoraŭ iom pli. Kalkulante proksimume oni ofte povas uzi generale la regulon ”1000 kiloĵuloj en ĉiu 100 gramoj”. Nur se la akvoenhavo estas granda oni devas esti iom singardema. Oni tiam povas imagi, ke oni metas la manĝaĵon – aŭ la herbon aŭ kio ajn pri kio temas – en la sunbrilo, kaj taksas kiom la pezo malgrandigas pro la vaporiĝo.

POR MEMORI (12)	Cent gramoj da seka brulaĵo aŭ manĝaĵo donas 1000 kiloĵuloj da energio

Kio povas fari la energia kvanto de 1 ĵulo?

Komence ni rilatigos la energian kvanton 1 ĵulo al elektro. Elektraj aparatoj, maŝinoj kaj lampoj kutime estas markitaj per ia etikedo diranta kiom da vatoj ili uzas, t.e. la povumon. Unu ĵulo povas doni ekzakte 1 vaton dum unu sekundo. Se 6-vata lampo lumas dum du sekundoj do eluzas 12 ĵulojn da energio. Ĵulo estas la sama kiel vatosekundo (Ws). Kiam oni aĉetas elektron oni ofte uzas la unuon vatohoro (Wh), kiu estas 60 · 60 vatosekundoj = 3600 ĵuloj = 3,6 kiloĵuloj.

POR MEMORI (13)	Unu ĵulo donas dum unu sekundo ekzakte la povumon 1 vato.

PROKSIMUMAĴO 44.

Kiom da ligno oni devas forbruligi en kameno por havi la saman produktadon de varmo kiel 1000 vata elektra hejtilo (radiatoro) donas dum unu horo?

La hejtilo donas 1 kilovato-horojn = 3600 kilovatosekundojn = 3600 kiloĵulojn. Se oni komparas tiun nombron kun kio estas skribita sur la grenopakaĵo, oni rimarkas, ke la hejtilo donas trioblon da energio. La grenopakaĵo celas 100 gramoj; la lignokonsumo do estas 300 gramoj.

PROKSIMUMAĴO 45.

Kiom da vatoj estas la povumo de homo?

Homo estas neefika maŝino, ĉar, kiel mastrumaj aparatoj kaj inkandeskaj lampoj, plejparton de la uzita energio fariĝas varmo anstataŭ utila laboro aŭ lumo. Pro tio ni povas havi ideon pri la homa energia konsumo per kompari lian varmon kun la varmo de iu lampo aŭ aparato. Imagu, ke vi metas lumantajn lampojn en plastan sakon, granda kiel homo. Kiom da lampoj, kaj tute kiom da povo necesas, por fari la surfacan temperaturon kiel homa surfaco?

Alia maniero: Kalkulu kiom da ĵuloj unu homo manĝas ĉiutage. Li manĝas dek cent-gramajn porciojn, ĉiu havantan 1000 kiloĵulojn da energio. Tiu estas dek milionoj ĵuloj, aŭ 10 000 000 vatosekundoj. Unu tagnokto estas 60 · 60 · 24 sekundoj, kiu estas ĉirkaŭ 100 000 sekundoj. Do, ĉiu sekundo la homo eluzas 10 000 000 / 100 000 ĵulojn = 100 ĵulojn. 100 ĵulojn en ĉiu sekundo = 100 vatoj.

Kiam energio estas uzata por levi iun aĵon, oni devas scii, ke unu ĵulo povas levi 100 gramojn unu metron. Tio validas tre precize ĉie sur la tero, sed ekzemple sur la luno unu ĵulo povas levi 100-graman aĵon multe pli alte.

POR MEMORI (14)	Unu ĵulo levas 100 gramojn unu metron.

PROKSIMUMAĴO 46.

Kiom da matenmanĝajn maizo-flokojn (folietojn) vi devas manĝi por havigi sufiĉe da energio por suprengrimpi Himalajon?

Oni pezas 100 kg kun ŝarĝo kaj devas grimpi 10 000 metrojn pli alten (se oni ekgrimpas de la mara nivelo). Necesas 1000 · 10 000 ĵuloj = 10 000 kJ. Kompare al la nombro sur la manĝopakaĵo, tio estas preskaŭ dekoblon de la energio en la celata 100 graman porcio. Sekve preskaŭ unu kilogramon oni devas manĝi krom la kvanto oni kutimas manĝi sen grimpado. (Ni ne prikalkulis la energion por produkti varmon krom la ordinara, kion oni kutimas fari dum grimpado. Tial ne estus saĝe bazi sian proviantoplanon sur nur ĉi tiu proksimuma kalkulo.

Energio kutime donas varmon. Ankaŭ se oni volas levadon aŭ alian laboron, parto de la energio fariĝas varmo. Certa kvanto de energiu povas aŭ varmigi grandan materiokvanton varmeta aŭ varmi malgrandan kvanton varmega. Praktika regulo estas, ke unu ĵulo povas varmigi 1 gramon da materio je unu grado. Tiu validas sufiĉe precize por kaj gasoj, likvoj kaj solidoj, escepte de densaj metaloj. (Ni rememoras, ke kelkaj metaloj havas densojn pli proksime al 10 kg/litro ol 1 kg/litro, kiu estas la ordinara por likvoj kaj solidoj) La plej diferenca en la alia direkto estas akvo, kiu bezonas 4 juloj por varmiĝi unu gradon.

POR MEMORI (15)	Unu ĵulo levas la temperaturon de unu gramo da materio je unu grado. (Por unu gramo de akvo la temperatura levo estas nur ¼ grad.

PROKSIMUMAĴO 47.

Kiom pli varma fariĝas la aero en kvindek kubmetra ĉambro, se oni bruligas 1 kg de kandeloj tie?

Se la varmiga kapablo estas simila al tiu de grasplenaj nutraĵoj (3000 kiloĵuloj en ĉiu 100 gramoj), 30nbsp;000 kiloĵuloj estiĝas. En la ĉambro estas 50 kg da aero, kaj tial la aero fariĝus 600 gradojn pli varmajn, se nur tiu varmiĝus. Sed vere ankaŭ la muroj varmiĝas, kaj la materio en ili, pezas pli multo ol la aero. La tavolo en la muroj, kiu estas plej proksime al la aero, ekhavas la saman temperaturon kiel la aeron, dum pli profundaj tavoloj eble havas tute aliajn temperaturojn. Tial oni ne povas facile taksi la temperaturon de la aero en la ĉambro.

PROKSIMUMAĴO 48.

Laŭdire unu litro da benzino enhavas ĉirkaŭ 35 milionojn da ĵuloj (35&nbsp000 kiloĵuloj). Ĉu tio ŝajnas verŝajna?

Ni kontrolos. Ni jam lernis, ke 100 gramoj da karbohidrato donas pli ol 1000 kiloĵuloj = 1000 000 ĵuloj, graso la duoblan, kaj benzino ankoraŭ pli. La laŭdiro do validas. Alia rezono eble konvinkas tiuj, kiuj spertegas pri aŭtoveturoj kaj krutaj deklivoj: Ĉiu ĵulo povas levi 100 gramojn je unu metro, do por levi 1000 kilograman aŭton unu metron 10 000 ĵuloj necesas. 35 milionoj ĵuloj dividite per 10&nbsn;000 ĵuloj = 3500. Tio indikas la nombro da metroj , kiujn la aŭto estus levita de unu litro benzino. Ne ŝajnas neeble. Tio signifus, ke se oni povus veturi al loko sur 3,5 kilometrojn pli alta altitudo, se la motoro funkcius sen energiaj perdoj.

Anguloj kaj distancoj

La luno kaj la suno aspektas kiel same grandaj diskoj sur la ciela fono. Tial ili tiom bone kongruas, ke la luno precize kovras la sunon dum suneklipso. Oni vidas ilin kun la sama vidangulo, kiu estas duona grado. Tiu signifas, ke la angulo havas sian verticon en la okulo kaj la du lateroj laŭ kontraŭstaraj flankoj de la ĉiela objekto. (Du lumoj, unu apud la alia, estus unu grado kune, do por formi laĉon de perloj tra la tuta ĉielo – 180 gradoj – necesas 360 lunoj.)

Oni povas utiligi tiun fakton por krei la sekvantan regulon, uzeblan kiam oni volas taksi la distancon al fluganta aviadilo: Se aviadilo ŝajnas longa kiel la diametro de la suno aŭ la luno, tiam la distanco estas centoble la longo de la aviadilo.

Kiel oni povas kompreni kaj memori tion? Unue pensi pri egallatera triangulo. En tia la anguloj estas 60 gradoj. (60 + 60 + 60 = 180) Do, se vi staras sur aviadejo ĉe 20 metrojn longa aviadilo tiel, ke vi estas je 20 metroj distance de la antaŭo kaj 20 metrojn de la malantaŭo, tiam vi vidas la aviadilon kun vidanglon de 60 gradoj. Se vi nun movas al la dekobla distanco, tiam la angulo estas proksimume la dekonan – preskaŭ 6 gradoj, kaj kiam la aviadilo estas centoble sian longon for de vi, la angulo estas iom malpli ol 0,6 gradoj, kaj tiu, pro koincido estas kiel la diametroj de la luno kaj la suno.

POR MEMORI (16)	La suno kaj la luno aspektas sur la ĉielo kiel diskoj, al kiuj nia vidangulo estas 0,5 gradoj.

POR MEMORI (17)	Aĵo, kiu estas 10 oble sia longo for, ni vidas kun vidanglo de 5,7 gradoj. (Se ĝi estas centoble for, ni vidas ĝin kun vidanglo 0,57 k.t.p.)

PROKSIMUMAĴO 49.

Vi estas veturanta al loko, situanta ĉe 70 metron alta telekomunikada masto. La luno aperas apud la masto, kaj vi vidas la maston alta kiel tri lun-diametroj. Kiom da vojo ankoraŭ restas por veturi?

Unu lun-diametro signifus, ke la distanco al la masto estus proksimume 100-oble 70 metrojn, t.e. sep kilometrojn for. Tri lunaj diametroj diras, ke ni estas pli proksime. 7 dividite per tri estas pli ol du kilometroj.

PROKSIMUMAĴO  50.

Kiel granda estas nubo?

Se vi havas la bonŝancon, la tago estas suna kaj la nubo preterpasas la sunon, kaj vi staras sur kampo, kie vi povas vidi ĝian tutan ombron. Tiam vi en certa momento notu, kie estas la ekstremaĵoj de la ombro, kaj poste iri mezuri (per paŝoj) la distancon. Ĉar la suno estas treege pli malproksima ol la nubo, la ombro estas egale granda kiel la nubo mem.

Se vi ne havas tian bonŝancon – estas malhela vetero aŭ la nubo ne estas en la sama direkto, el via vidpunkto, kiel la suno – vi eble tamen povas taksi la grandon de la nubo – se la vento blovas. Vi memoras, kiel rapide la nub-ombroj kutimas kuri tra la kampo, kiam la ventorapido similas la nunan. Ĉu oni povas per biciklo veti ilin? Kiom da metroj iras biciklo en unu sekundo? Eble en dek sekundoj vi biciklas 50 metrojn – do 5 m/s. Vi ankaŭ povas aŭdi per radio, kiom estas la rapido de la vento. Se la vento blovas simile rapide tie supre, kie la nuboj estas, tiam oni ekvidas la nazon de la nubo kaj kalkulas, kiom da sekundoj bezonas la tuta nubo por pasi la celpunkton. Kiom vi biciklas dum tiom da sekundoj?

PROKSIMUMAĴO  51.

Mi vidas personaviadilon preterpasi en la ĉielo. Mi etendas mian manon kaj konstatas, ke daŭras ses sekundojn por la aviadilo pasi preter mia pugno, de la etfingra artiko ĝis la artiko de la montra fingro. Kiom distanca estas la aviadilo?

Reakcia aviadilo iras preskaŭ tiom rapide kiel la sono. En 1-2-3-4-5-6 sekundoj ĝi veturas preskaŭ du kilometrojn, kaj tiuj du kilometroj ŝajnis kiel mia pugno, 10 centimetroj. Mia brako estas 50 centimetrojn longa, do kvinoble mian pugnon. La proporcio inter mia brako kaj mia pugno ankaŭ estas la proporcio inter la distanco al la aviadilo kaj ĝia sesminuta veturo. Kvinoble du kilometroj faras dek kilometrojn.

Oni ankaŭ povas pensi ĉi tiel: Se la aviadilo direktus rekte kontraŭ mi, ĝi atingus min en 6 · 5 = 30 sekundoj. Pri la tondro, 30 sekundoj signifus dek kilometroj fore. Personaviadiloj estas iom pli malrapidaj ol la sono, do ni taksas, ke ĝi estas ok kilometrojn fore.

Malgrandaĵoj

Kiu legas ĉi tiun tekston, kaj ne uzas specialan komputilan ekranon, povas vidi aĵojn, kiuj estas milimetron dikaj (la literojn) kaj eble ankaŭ dekonon de milimetro (la punktojn super la malgrandliteraj i). Tie, ĉe dekono de milimetro, estas la limo de la vido de la normalaj okuloj). Per grandiga vitro (lupeo) oni atingas ĝis dekono de tiu (unu pluan grando-kategorion). Per mikroskopo, konsistanta el pluraj lensoj, oni atingas ankoraŭ unu faktoron 10 pli malsupren. Post tio estas halto. Oni povas konstrui tiajn mikroskopojn, kiuj pligrandigas 1000-oble kaj pli, sed oni ne povas vidi pliajn detalojn per ili, nur grandajn nebulajn zonojn, anstataŭ la puntojn en pli malforta mikroskopo. La ondolongo de la lumo metas la limon. Per la lumo oni vidas, kaj same kiel oni ne povas pentri delikatajn detalojn per granda senpinta peniko, oni ne povas vidi aĵojn, kiuj estas malgrandaj ol la ondolongo de la lumo, kiu estas iom pli mallonga ol milono de milimetro. Milono de milimetro nomiĝas mikrometro (µm).

POR MEMORI (18)	La ondolongo de la lumo estas iomete malpli ol unu milono de milimetro.

Ĉiuj ĉeloj kaj en kreskaĵoj kaj bestoj estas pli grandaj ol unu mikrometro. Oni do povas vidi ilin per luma mikroskopo. Bakterioj ankaŭ estas ĉeloj, sed ili estas iom pli malgrandaj, ili estas ĉirkaŭ unu mikrometron larĝaj, do proksime al la limo de la videbla per luma mikroskopo. Luma mikroskopo estas la ordinara mikroskopo kun lampo aŭ spegulo, tia, kiun oni trovas en la biologiaj ĉambroj de lernejoj.

Ankaŭ ekzistas elektronaj mikroskopoj. Ili estas grandaj instalaĵoj, Per ili oni povas vidi aĵojn, kiuj estas multe pli malgrandaj ol la ondolongo de la lumo, ekzemple virusojn.

POR MEMORI (19)	Bakterioj estas proksimume milono de milimetro grandaj.

PROKSIMUMAĴO  52.

Laŭ statisto en la enciklopedio ”Nationalencyklopedin” troviĝas 108 – 5 · 109 bakterioj en 1 gramo da kultura tero. Ĉu tio estas verŝajna?

La supra el la nombroj donitaj estas preskaŭ kiel la loĝantaro sur la tero, kelkaj miliardoj. Unu miliardo (naŭ nuloj) povas esti kubo kun mil bakterion laŭlonge, mil laŭlarĝe kaj mil laŭalte. Tia bakteria kubo havas la eĝon 1 milimetro. Kvin tiaj kuboj facile trovas lokon en unu gramo de kultura tero, kiu plenigas proksimume unu kubcentimetron.

La metodoj uzitaj

Ni ĝis nun per propra kalkulado sukcesis ricevi multajn informojn – 51 entute – kiujn ni aliokaze nur per penego povus trovi – pri geografio, mikrobiologio, fiziko, kemio, agrikulturo, meteologio. Kion ni bezonis, estis dek naŭ nombrojn kaj iom da eltrovemo. La dek naŭ nombrojn estas resumitaj ĉe la fino de la tuta teksto. Nun ni resumos tion, el kio konsistas nia eltrovemo – la metodojn, kiujn ni uzas.

– Ni imagas per vidaj bildoj. Ni provas vidi antaŭ ni iu situacio koncerne la problemo kaj mobilizas scion el nia memoro. Ni demandas ”kiom granda?”, ”kiom larĝa?”, ”kiom da?”. Se ni sentas, ke ni ne scias, ni penas meti limojn supren kaj malsupren: ”Almenaŭ ne pli ol cent oranĝoj en unu semajno”, ”almenaŭ ne malpli ol unu mikrometro”. Ni provas turni kaj movi kaj traktadi la aĵojn, kiujn ni vidas per via interna vido, kaj kompari ilin kun aliaj: ”Kiom da kvadratoj kun la rando kiel la distanco al la ekvatoro necesas por kovri la terglobon.”

– Ni uzas simpligitajn nociojn. Oni ne bezonas implikiĝi en tabeloj de densoj aŭ kalkuloj kun π , se oni ne deziras aŭ bezonas altrangan precizecon. La areo de la cirklo estas proksimume longeco oble larĝeco, kiel la areo de la kvadrato. Plej multaj likvoj havas la saman denson.

– Ni pensas pri la atmosfero kiel kunpremita miloble, kvazaŭ teleskopo. Tiam ĝia denso estus kiel la denso de ligno, manĝaĵo kaj aliaj ne-gasaj substancoj. Tiom ni povas kompari la volumojn, kiuj estas pli facilaj imagi, anstataŭ kompari masoj, kiuj fariĝas tro abstraktaj, tuj kiam ili ne plu trovas lokon sur iu ajn pesilo, pri kiu ni spertas.

– Ni serĉas ekvilibrojn, konstantecon aŭ cirkuladon. La akvo de la tero vaporiĝas kaj pluvas, vaporiĝas kaj pluvas, senĉese, sed ĝia tuta kvanto ĉiam estas ĉirkaŭ la sama. La sama validas pri la karbono. Ĝi cirkulas inter la karbona dioksido de la atmosfero kaj la biomaso en kreskaĵoj kaj bestoj. La homo veturas inter naskigo kaj morto kaj finfine kiom naskiĝas tiom mortas. Faciligas la kalkuladon trovi tian konstantecon. Eble estas pli facile taksi kvanton de pluvo ol kvanton de vaporiĝo. Eble estas pli facile taksi la nombron de mortaj ol la nombron de naskiĝintaj. Se ni kredas, ke ekvilibro regas, ni povas fari vastajn konkludojn, sed ni devas gardi nin, ke ni ne atribuas al la realo ecojn de ekvilibro nur pro tio, ke ili faciligas niajn kalkulojn. Ofte estas saĝe, komence kalkuli laŭ ekvilibro kaj poste analizi kiom malproksime de ekvilibro estas la vera situacio.

– Ni tavolas egaldike sur la tersurfacon. Memori grandajn nombrojn ne eblas, kaj eĉ kompari ilin kaj konkludi per ili povas esti malfacile. Pri tutmondaj kvantoj – la tutaj petrolaj deponejoj, akvaj provizoj kaj arbaraj stokoj – la afero fariĝas pli facila, se ni imagas, ke ni sternus la tutan kvanton sur la tutan tersurfacon, kaj vidas en nia menso kiel dika fariĝas la tavolo: La dek kilometrojn dika atmosfero, se kunpremita estus dek metrojn dika, kaj el tiu la karbona dioksido estus kvar milimetroj. Ni pensis pri ligna lameno, pri lankovrilo kaj tiel plu.

– Ni dividas egale inter ĉiuj homoj. Kiam tutmondaj kvantoj estas tiom malgrandaj, ke tavolo sur la tersurfaco estus ne eĉ unu milimetro, tiam pli konvene ni porciigu la kvanton al la tuta homaro. Tio validas pri jaraj rikoltoj, industria produktokvantoj kaj konsumo. La nombroj fariĝas facile kompreneblaj, aparte ĉar oni povas kompari ilin kun sia propra produktado, konsumo kaj posedo. Kelkfoje oni povas fari tutmondajn konkludojn, bazitaj sur sia individua sperto, sed oni ne rajtas malatenti ĉiun agadon, kiu ne okazas en la hejmoj sed komune, en fabrikoj kaj aliaj instalaĵoj, kaj ĉion, kion ne homoj organizas. Dividi la teron en ok miliardojn parcelojn, ke ĉiu parcelo estas dekonon de kvadratkilometro, estas bona deirpunkto por multaj pensoj, sed estus sufiĉe sensence imagi, kiel oni kulturus kaj konstruus instalaĵojn sur tia individua parcelo, por konkludi pri la mondo.

– Ni partigas kaj vicigas laŭlonge, laŭlarĝe kaj laŭalte. Ni havas sufiĉe bonan ideon pri distandoj kaj longoj. Ne estas morta aritmetiko, kiam oni scias, ke 10 mm faras 1 cm, 10 cm unu dm k.t.p. ĝis almenaŭ 100 kilometroj. Ni povas bone superrigardi tiujn ok grandokategoriojn. Pri volumenoj kontraŭe oni facile taksas erare. Ni ekzemple havas du tasoj kaj opinias, ke la granda estas duoble la malgranda. Ĝi ja estas duobla laŭalte, duobla laŭlarĝe kaj duobla laŭlarĝe en la alia direkto. Sed tiam la volumeno estas okobla. Pro la tri dimensioj ni havas tiel konfuzajn, grandaĉajn nombrojn, kiam ni demandas, kiom da fojoj malgranda volumeno trovas lokon en granda – kiom da kuleretoj en sitelo, kiom da ĉeloj en la cerbo. Per konsideri ĉiun dimension aparte ni atingas klarecon. Ni ankaŭ povas uzi la dimensiojn por fari grandajn nombrojn pli klaraj. Ni skribas la grandan nombron kiel produkton de tri nombroj, kiuj do diras kiom oni vicigu laŭlonge, kiom da vicoj oni aranĝu laŭlarĝe kaj kiom da tavoloj oni staku laŭalte. . – Ni lasas grupon da homoj reprezenti la tutan homaron. Oni ne ĉiam povas iri de la individua al la tutmonda per multipliki siajn proprajn kondiĉojn per ok miliardoj. Kiel individuo oni eble ne estas ĉiel tipa. Tiam oni povas uzi grupon anstataŭe. La nombron de la maldekstra-manaj personoj en la mondo oni povas taksi bazite sur kiom da tiaj personoj kutimas esti en ĉiu lerneja klaso, ĉar la frakcio estas la sama en diversaj aĝogrupoj kaj en diversaj partoj de la mondo. Se oni bezona laŭaĝe pli miksitan referencan grupon oni povas konsideri la grupon de sia najbararo.

– Ni lasas homan vivodaŭron reprezenti aron de diversaĝaj personoj. Se temas pri io, kio varias multe laŭaĝe, oni povas anstataŭ multaj individuoj konsideri ĉiujn jarojn de unu individuo. Kiom da lernantoj de la klasoj 1-3 estas en la mondo? iu demandis. Oni mem estis tia lernanto dum tri jaroj el siaj 60 vivjaroj, t.e. 5 elcentoj. Ĉar la loĝantaro de la mondo estas age miksita, ĉirkaŭ 5 elcentoj el la ok miliardoj estas en tiuj klasoj ĉi-jare. Kvarcent milionoj, oni respondas.

Postparolo

Ni faris ĝis nun sufiĉe multajn taksadojn. Iuj estis facilaj, aliaj bezonis multajn paŝojn kaj eltrovemon. Neniu estis malfacila koncerne la kalkuloj. Oni nur devis teni en ordo la ĉe-finajn nulojn.

La taksadoj montris, parte la amplekson de tio, pri kio oni povas informiĝi per kalkulado, parte donis iom da ekzercado kaj praktiko en gravaj fakoj pri akvo kaj karbono en la mondo, pri la denso de materio, kaj pri la eblo rilatigi la tutmondan al la individua.

La rezultoj kelkfoje estis iom for de la realaj nombroj. Kiam la diferencoj estis grandajn, ili estas menciitaj, en aliaj okazoj verŝajne evidentiĝis, kiel krude ni taksis la deirajn kvantojn; pro tio oni komprenas, ke la fina rezulto estas simile kruda. Ne estintus malfacile ŝanĝi iujn nombrojn tiel, ke la rezulto fariĝus pli simila al io, kion oni povas trovi en libroj aŭ retaj fontoj, sed ni ne volas doni aranĝitajn ekzemplojn. Devas esti evidente, ke oni ofte – sed ne ĉiam – povas taksi aferojn eĉ kun minimuma profesia scio.

Oni konfidu sian juĝokapablon – ĝis oni scias, kie ĝi mankis. Tiam oni havas anstataŭe pli bonan juĝokapablon. Ke iu libro aŭ retpaĝo diras ion alian, tute ne malgravigas kion ni mem kalkulis. Kion ni mem kalkulis, ni komprenas; kion ni legis ni povas nur kredi aŭ dubi.

Tio ankaŭ estas kaŭzo, kial ni ne skribis iun rezultaron kun ĝustaj respondoj. De kie ni cetere trovus la ĝustajn respondojn? De iu libro aŭ retpaĝo. Kiel ni scius ke validas tio, kion oni trovas en la libroj? Per kontrola kalkulo, kaj raporto al la leganto pri la kontrolmetodo. Sed tion ni jam faris. Ni kalkulis proksimume, sed se oni volis respondi pli precize, oni devas difini detale multajn aferojn krom tiuj menciitaj en la teksto, kaj tio estas ekster la kadro de rezultaro.

Se vi necertas pri io, vi montru viajn kalkulojn al iu alia, kaj vi kalkulu kune. En iu retejo aŭ konsulta libro vi povas trovi interesan informon por komparo. Tiam vi decidu, kiun vi kredas pli, tiun informon aŭ vian propran kalkuladon. Kalkulo emas fari nin iom fieraĉaj.

La dek naŭ nombroj bezonataj por ĉiuj ĝisnunaj kalkuloj kaj multegaj pliaj

1) 8 gigapersonoj loĝas sur la tero

2) 200 ŝtatoj ekzistas (el kiuj 2 miliardoŝtatoj, 45 centmiliono-ŝtatoj, 100 dekmiliono-ŝtatoj)

3) 70 estas la elcentaĵo oble la duobliĝo-tempo

4) 10 000 kilometroj estas la distanco de la poluso al la ekvatoro

5) 5 · 10⁸ km² estas la areo de la tero (Kvin kvadrataj dekmil-kilometrajaj kovriloj)

6) 300 m/s estas la rapido de sono (1-2-3 ĝis la tondro ekde fulmo 1 kilometro fore. Alternative oni memoru, ke la rapido de la sono estas ĉirkaŭ 1000 km/h)

7) proksimume 1 kg/liter pezas plej multaj likvoj kaj multaj solidoj

8) 1 kg/m³ pezas gasoj (La gasatomoj havas dekoblan distancon)

9) 10 kilometrojn dika estas la atmosfero (Kiel la plej alta pinto de Himalajo)

10) 4 km profundaj estas la maroj mezvalore (Duona Himalajo)

11) 0,04 % koncentriteco de karbona dioksido en la areo

12) >1000 kiloĵuloj (kJ) donas 100 gramoj da karbonhidrato brulinte (La teksto sur manĝaĵpakaĵo)

13) 1 vato povas fari dum unu sekundo unu ĵulo (W = J/s, Ws = J)

14) 100 gramoj estas levita unu metron de unu ĵulo

15) Proksimume 1 gramo varmiĝas unu gradon de unu ĵulo

16) 0,5 gradoj estas la vidangulo al la lun- kaj sundiskoj (360 lunoj kvazaŭ laĉo de perloj tra la ĉielo)

17) 100-oble la aĵo estas la distanco se la vidangulo estas duona grado. (Egallatera triangulo havas 60-gradajn angulojn)

18) 1 µm estas la ondolongo de lumo (Kiel bakterio)

19) 1 µm kutime estas bakterioj (Ili preskaŭ ne estas videblaj en mikroskopo. Ne eĉ kiel punkto sur i.)