Proksimuma kalkulo/Gvidlibro

Gvidlibro pri kurso en baza lernejo pri proksimuma kalkulo

Jen propono pri kursa enhavo kaj lecionaj planoj. Laŭ tiu plano estis kursoj kondukitaj por 15-jaraj lernantoj, kiuj interesiĝis pri tekniko kaj scienco.

Lecionoj 1-2: Enkonduko

La leciono klarigas, kio estas proksimuma kalkulo, montras kiel gravan rolon havas proksimuma kalkulo kaj en scienco kaj en socio.

La instruisto: Scienco estas, ke ni mem eltrovas faktoj. Kelkfoje estas facile eltrovi faktojn: Ili estas en lernolibro, oni demandas sian kamaradon, oni demandas la instruiston, oni elserĉas la Interreton, en Vikipedio. Kelkfoje oni devas cerbumi mem. Foje oni devas cerbumi treege multe. Tion lastan vi lernos dum ĉi tio kursperiodo. Foje oni reserĉadas. Tiam oni dediĉas multe da tempo. Oni unue difinu ekzakte kion oni volas eltrovi. Due oni planu kiel dividi la laboron inter la grupanoj.

La instruisto demandas kaj kaptas diferencajn respondojn de la lernantoj:

• Kiom da lernantoj estas en tiu ĉi domo?

• Kiom da homoj estis en via buso ĉi tiun matenon?

• Kiom da sidlokoj havas la lerneja manĝoĉambro?

• Kiom da libroj havas la biblioteko?

• Kiom da terpomoj manĝas la loĝantoj en la komunumo dum unu jaro?

La instruisto bone notas, ke kelkaj respondoj estas donitaj precize, aliaj rondigitaj, ke diskutoj aperas kaj pri detaloj kaj pri la senchaveco de iuj respondoj. Eble venas rimarkoj kiel ”Tion mi ne scias”. La instruisto danke akceptas la respondojn donitajn, kaj montras, ke la malkonkordoj plejparte temas pri detaloj. La instruisto jam nun povas konduki strukturitan proksimuman kalkulon pri iu el la ĉi supraj demandoj, aŭ lasi ilin ĝis pli malfrue kun la nura rimarko, ke la donitaj respondoj estas sufiĉe bonaj. La instruisto resumas iujn jam facile kompreneblajn principojn: Oni rememoru kiel la situacio aspektis, oni konjektu pri mezvaloroj, oni partigas kaj uzas multobligon, oni plifaciligas la multiplikon per rondado.

La instruisto: Kelkaj diras: ”Tion oni ne povas scii.” Kion vi celas per tio? Verŝajne vi volas diri, ke oni ne povas scii la ekzaktan respondon. Ĝuste! Sed, ĉu iu demandis pri la ekzakta? Kiam oni demandas ”Kiom…?” oni ofte aludas ”Ĉirkaŭ kiom…” Kaj kiam iu respondas ”30 lernantoj en la buso”, tiam li verŝajne ne volas diri ke li sendube scias, ke ili ne estas 29 aŭ 32. Tiel memkomprenebla tio estas, ke oni ne devas diri ”ĉirkaŭ… ĉirkaŭ…” ĉiam ripete. Neniu akuzas onin pri mensogo, se oni diras 30 kaj poste aperas, ke 32 estas la ĝusta nombro de la homoj en la buso. Kontraŭe povas esti: Se iu dirus 32, tiam ŝajnus, kvazaŭ tiu persono tre bone konus la aferon kaj estus certa pri la detaloj. Se poste aperas, ke vere ekzakte 30 estas la ĝusta nombro, tiam plendoj povas veni, ke 32 estis malĝusta aserto. Malsamajn mesaĝojn do portas finiga nulo kaj alia cifero ĉe la fino. Nuloj ofte aludas, ke la detaloj estas necertaj.

En ĉi tiu kurso ni preskaŭ neniam kalkulos precize. Ni kalkulos krude. Oni nomas tion kalkulmanieron proksimuma kalkulo. Tiel scienculoj kalkulas ofte. Aliokaze ili povus ekscii nenion ajn. Ili nur devis ĉiam diri ”Mi ne scias”, ”Tion oni ne povas scii”. Kalkuli krude ne indikas, ke oni kalkulas fuŝe kaj malordeme. Oni ĉiam devas zorgi, ke la kalkulo ne estas tro kruda, tiom, ke la rezulto fariĝas sensenca.

Grupa laboro: Kiom da pingloj havas tiu ĉi arbo, kiun vi vidas ekster la fenestro? En ĉi tiu escepta okazo la instruisto montras konkretan objekton, branĉeton, kiun li prenis de iu pingloarbo antaŭ la leciono. Tiel la lernantoj povas veni esplori ĝin, por ekkoni pli bone la detalojn de konifera arbo, se ili trovas malfacile senpere taksi la nombron de pingloj sur ĉiu branĉeto, la nombron de branĉetoj sur branĉo, la nombron de branĉoj sur branĉego k. t . p. Ĉiu grupo havas sian paperon por malnetskribaĵo.

Prezento: Ĉiuj grupoj skribas siajn rezultojn sur la tabulo, kaj normalamaniere kaj en formo de multobloj de potencoj de dek. Post diskuto la lernantoj komprenas, ke la rezultoj de la grupoj ne estas tiel diferencaj kiel ili unue ŝajnis esti. Por pluraj el ili la dekoj havas la saman eksponenton. La grandoklaso estas la sama.

La instruisto: Ke la detaloj estas iom malsimilaj, tio ne estas stranga. La arboj ja estas malsimilaj, kaj neniu rakontis al vi ekzakte pri kiu arbo vi kalkulu. Kaj ankaŭ oni komprenas, ke iom neprecizaj estas la kalkuloj de ĉiuj el vi.

Ni kalkulis krude, sed samtempe ni sukcesis montri, ke ni certas, ke la pingloj ne estas cent aŭ mil aŭ miliardoj. Ni do scias! Nur la detalojn ni ne scias. Kaj ni ankaŭ ne zorgas pri tiuj.

Do, kiam vi prezentas viajn rezultoj eble vi ne devas diri, ke la pingloj estas ”sep milionoj”. Sufiĉas, ke vi diras: ”milionoj, eble eĉ dek milionoj”. Kaj se ”sep milionoj” estas prezentita, la aŭskultanto devas pripensi, ĉu tiu ”sep” estas certa sep aŭ necerta sep.

Iuj lernantoj eble prenis siajn telefonkalkulilojn kaj faris la multiplikojn per ili, kaj eble prezentis la rezultojn per pli da ciferoj ol la senchavaj. Tio donas al la instruisto bonan kaŭzon montri al la klaso, kiel oni povas multipliki sen kalkulilo: Anstataŭ 8 oni uzas 10, la produkto trioble tri faras dek, la sesoj povas esti kvinoj kaj esti uzitaj por multipliki la duojn… Eble la lernantoj estas nekredemaj pri tia fuŝa laboro. La instruisto komparas sian rezulton kun iu rezulto de kalkulilo. Se ili estas proksimaj, tio indikas, ke proksimuma kalkulo funkcias. Se la rezultoj estas malproksimaj, la instruisto diras, ke li kredas la proksimuman kalkulon pli. La lernanto ripetas sian kalkuliladon kaj trovas, ke li unuafoje miskalkulis (kaj ebla ankaŭ la duan fojon). La lernantoj nun ekvidas, ke telefonon oni ne facile uzas sen eraroj, kaj ke la telefonoj ne povas senprobleme trakti grandajn nombrojn.

Se restas iom da tempo:

- La instruisto montras gazeton kaj rakontas, ke multe en ĝi estas erara. Gazetoj povas havi gravajn informojn, sed oni ne kredu ĉion. En multaj lernofakoj oni lernas pri tio. Oni lernas, kiel funkcias la socio, ke oni estu ekzamena kaj gardema pri kiel lingvo kaj bildoj estas uzitaj por delogi, ke reklamo estas farita ankaŭ por malutilaj aferoj. Oni lernas, ke krom klaraj mensogoj kaj propagando ekzistas ankaŭ malzorgo kaj eraroj. Kelkaj gazetistoj ne povas distingi inter biliono kaj la angla vorto ”billion”.

La instruisto rakontas, ke la kurso pritraktos metodojn por kontroli, ĉu estas senchavaj la nombroj prezentitaj. La lernantoj povas trafoliumi gazetojn kaj serĉi grandajn nombrojn. Jam nun ili povas cerbumi, kiel ili povus eltrovi, ĉu iu nombro estas ĝustaj aŭ ne.

Iuj aliaj ekzercoj, kiuj taŭgas en ĉi tiu komenca stadio:

- La lernantoj proponu aliajn demandojn, pri kiuj oni povas trovi respondon per kalkulo.

- Kiom da maŝoj havas trikita pulovro? Kiom da tempo necesas por triki tian pulovron?

Hejmtasko 1: Surpaperigu la kalkulon pri la nombro de la pingloj, kiun vi jam faris: Vi nur havas unu ekzempleron de la papero, sur kiu vi faris viajn kalkulojn. Pro tio ne ĉiuj el vi povas porti ĝin hejmen. Iuj el vi do devas fari kalkulojn sen tiu skribaĵo, eble per eltrovi novajn nombrojn – tio estas tute permesata. Grave nur estas ke ĉiuj kalkulos kaj atingos kredeblan rezulton.

Hejmtasko 2 (aldona tasko): Kunportu eltondaĵon el gazeto, kiu montras iun grandan nombron, kiun ni provus kontroli.

Leciono 3-4: Kelkaj ĝeneralaj principoj

La leciono baziĝas sur spertoj akiritaj en la unua leciono kaj vortigas ĝeneralajn principojn por proksimuma kalkulo. Grandparte ĝi ankoraŭ limiĝas je entjeroj, sed iom ĝi preparas por la venonta leciono, kiu temas pri distacoj, longoj, tempoj kaj volumenoj.

La lernantoj mallonge rakontu, kiel ili dum la pasita leciono taksis la nombron de la libroj en la biblioteko. La lernantoj legu la hejmtaskajn raportoj pri proksimuma kalkulado. Komentojn estas diskutitaj kaj metodojn komparitaj. La instruisto resumas kelkajn ĝeneralajn principojn, kaj la lernantoj notas ilin. Iuj el ili estas klarigitaj pli detale per konkretaj ekzemploj:

• Kalkulu krude kaj rondigu. 834 ≈ 800 kelkfoje estas kunvene. Kelkfoje 834 ≈ 1000 estas pli bone. Vi mem decidu. La rezulto devas esti rapide kalkulebla, ne esti pli preciza ol necese, sed ne tro nepreciza.

• Imagu per vidaj bildoj. Uzu vian fantazion kaj provu vidi la aferoj interne. Disigu la tutaĵon en malgrandajn partojn, imagu ĉiun el ili vide, kaj taksu kiom da partoj vi havas. Taksu la mezvaloro de la nombroj en ĉiuj partoj. Ekzakte tiel ni faris kiam ni cerbumis pri la nombro de pingloj en la arbo.

• Multipliku partojn kiuj estas pli-malpli egalaj. Oni rondigas, por havigi mense kalkuleblajn nombrojn. Bone estas, se oni havas ideon, ĉu la kalkulado donas iom tro grandan aŭ iom tro malgrandan rezulton.

12 ∙ 8 ≈ 10 ∙ 10 = 100. (12 estas iom pli ol 10, kaj 8 estas iom malpli ol 10 – pro tio unu afero kompensas la alian, do la rezulto fariĝas sufiĉe preciza)

3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ≈ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 1000. (Ĉi tie la rezulto de la kalkulado estas iom tro granda, ĉar 3∙3 estas malpli ol 10.)

3 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 4 ≈ 10 ∙ 10 ∙ 10 = 1000. (Ĉi tie la rezulto estas iom tro malgranda, ĉar 3∙4 estas pli ol 10.)

3 ∙ 4 ∙ 3 ∙ 3 ≈ 10 ∙ 10 = 100. (Ĉi tie la rezulto estas sufiĉe proksima, ĉar la unua deko estas subtakso kaj la dua estas trotakso. La eraroj do parte kompensas.)

• Atente zorgu pri la nuloj, kiom ili estas. Malgrave estas se vi havas 400 anstataŭ 300, sed havi 3000 aŭ 30000 anstataŭ 300 normale ne estas akcepteble. Tiam oni alvenis longan vojon en alian grandoklason: 3 • 10² fariĝis 3 • 10³ aŭ eĉ 3 • 10⁴. Kelkfoje oni akceptu ke la grandoklaso ŝanĝas, ekzemple kiam ni kalkulis la pinglojn sur la arbo, sed ne tre malproksimen.

• Kiom specifa estas la demando? Oni devas pripensi pri kio oni kalkulas – aparte granda arbo aŭ aparte malgranda, piceo aŭ pino? Ĉu oni kalkulu ankaŭ la gazetojn kaj periodaĵojn kiel libroj de la biblioteko? Ĉu oni kalkulu ankaŭ broŝuron, kiuj ne estas en la rakoj? En niaj kalkuloj tiuj aferoj ne estis menciitaj. Tiam ni rajtas fari krudajn proksimumaĵojn. En aliaj okazoj tiaj aferoj estas gravaj.

Grupa tasko: Kiom da tempo oni bezonas pol kalkuli al a) 100 b) 1000 c) 10 000 d) 100 000 e) unu miliomo f) unu miliardo?

Grupa tasko: Kiom da glasoj da lakto trinkas la lernantoj de la lernejo en unu tago? En unu jaro? Ĉiuj lernantoj en la lando en unu tago? La tuta monda lernantaro en unu tago?

Ĉi tiu tasko estas malfacila, kaj verŝajne estigas multajn demandojn dum la laboro.

La lernantoj verŝajne eliras de la nombro de lernantoj en la lernejo, pri kiu ili verŝajne havas klaran ideon. Post tio ili eble rememoras, ke iuj trinkas pli ol unu glaso, kiam ili manĝas en la manĝoĉambro, kaj iuj trinkas akvon anstataŭ lakton. Dum laboro iuj lernantoj eble rimarkas, ke la demando ne limiĝis je la manĝoj en la lernejo. Oni diskutas, ĉu oni multipliki per la nombro de la lernejaj tagoj aŭ per 365.

Post tio venas paŝo kontraŭ plian kompleksecon, anticipo de la temo de la venonta leciono. Oni devas taksi la nombron de la lernantoj en la tuta lando. Tiam ili verŝajne trovas, ke ”ĉiuj lernantoj en la lando” inkluzivas ankaŭ aliajn aĝgrupojn de lernantoj ol tiuj en la propra lernejo, kiujn la unua demando aludis. Ĉi tie la lernanto eble bezonas gvidadon, por eviti, ke ili ne nur divenos sen metodo kaj sen kontrolo de la akcepteblo. La instruisto povas interrompi la laboron kaj resumi la rezultojn jam atingitajn.

La instruisto povas konduki la diskuton pluen laŭ diversaj vojoj, depende de kio proponas la lernantoj. Unu eblo estas demandi, kiom da jaroj el sia vivo homoj normale estas lernantoj. Poste venas la demando kiom da jaroj estas homa vivo mezvalore. Tiu estas iom pli malfacila, sed la respondo nur malmulte influas la finan rezulton.

La lernantoj eble proponas alian solvometodon: Eliri de la rezulto pri la laktotrinkado en la propra lernejo kaj provi taksi kiom da similaj lernejoj ekzistas en la tuta lando. La lernantoj havas ideon, pri la lernejoj en la propra komunumo, ili povas taksi la nombron de komunumoj en la regiono kaj poste kiom da regionoj en la lando.

Ĉi tie la instruisto povas prezenti ”mini-maksimuma”-kalkulado. Oni kalkulas unue ĉion abunde (iom pli) kaj due iom nesufiĉe. Tiel oni enfermas la ĝustan rezulton inter du limoj. Post tio oni povas pripensi, kio okazus al la rezulto, se la kondiĉoj ŝanĝas.

Hejma tasko: Surpaperigu la kalkulojn por solvi la taskon pri laktotrinkado.

Leciono 5-6: Startpunktaj nombroj

La lernantoj prezentas, kiel ili plenumis la hejmtaskon. Ĝi temis inter alie pri eltrovi, kiom da lakto trinkas dum unu tago la lernantoj de la lando, kaj kiom trinkas la lernantoj de la mondo. La instruisto rimarkigas, ke ĉiuj uzis certajn nombrojn kiel deirpunktoj. Ili uzis ”startpunktajn nombrojn”. La lernantoj havas tiajn nombrojn en sia memoro, kaj evidente povis uzi ilin por pluiri. Ili jam scias la nombron de la lernantoj en la lernejo, la nombron de la loĝantoj en la lando, kaj eble la nombron de la loĝantoj sur la tero.

La instruisto: Nun mi faras alian demandon pri la sama temo: ”Kiom pezas ĉiu tiu lakto? Kiom da tunoj?

Post la kalkulado la instruisto demandas. Ĉu vi uzis iujn startpunktajn nombrojn nun? Jes, vi devis scii iom pri lakto, pri volumo kaj pri masoj. Eble vi scias, ke unu glaso entenas 2 decilitrojn, ke la denso de lakto estas kiel la denso de akvo, ke unu tuno estas mil kilogramoj. Aŭ vi havas similajn informojn. Vi do jam scias iujn startpunktajn nombrojn.

Grupa tasko: surpaperigu liston de startpunktaj nombroj, kiujn vi jam konas.

Se iu grupo ne povas rememori iun ajn, oni povas diri, ke ili skribu ĉiujn nombrojn, kiuj ili konas, kune kun klarigo, por ekzemple ”7 miliardoj la loĝantaro en la mondo”, ”60 minutoj en uno horo. Se iu grupo elpensas pli ol ili povas surpaperigi, oni povas diri, ke ili ne bezonas skribi tiajn aferojn kiel ” sep nanoj” aŭ ”4 radojn havas aŭto”.

Jen, vi jam konas multajn nombrojn. Kelkaj el ili ne estas tre utilaj en ĉi tiu kurso. Kiel ”la kato havas naŭ vivojn”. Aliaj estas gravaj, sed mi ne diros pri ili, ĉar mi supozas, ke vi jam konas ilin. Mi supozas, ke vi scias la faktorojn por konverti la tempajn unuojn: kiom da sekundoj en minuto, minutoj en horo, horoj en tagnokto, tagnoktoj en semajno, tagoj en jaro. Vi ja konas la faktorojn por konverti longecojn, inter mm, cm, dm, m, km. Kaj same por la volumenaj unuoj kaj pezoj: Ĉu vi konas ilin? Aliokaze ni lernu ilin kiel hejmtasko.

Vi ankaŭ scias ĉi tiajn afrojn: Kiel alta estas plenkreska homo? Kiom li pezas? Kiom longe daŭras homa vivo? Ili ne estas ekzaktaj sed rondigitaj kaj dependaj de la difino. Sed ni ĉiuj havas bonan ideon pri ili. Kelkajn ni rememoras, ĉar ne unufoje lernis ilin, aliajn ni rapide povas taksi per proksimuma kalkulo.

Nun ni pritraktos kvar nombrojn, kiujn ni ĉiuj devas scii. Poste aldoniĝas kelkaj nombroj ĉiun lecionon. Surpaperigu ilin, kiam ili venos.

- La nombro de la loĝantoj en nia lando: ………………… (Ĉi tiu nombro helpas nin kompreni kaj taksi la statistikojn en la gazetoj.)

- La nombro de la loĝantoj sur la tero:………………… (Ĉi tiu nombro helpas nin kompreni la mondan situacion.)

- Kiom pezas unu litro? ………………… (Ĉi tiu nombro helpas nin imagi ekzemple 15 tunojn.)

Kiom longa estas la distanco ĉirkaŭ la terglobo? …………………… (Ĉi tiu nombro helpas nin kompreni la vivmedion kaj la disponeblajn rimedojn de la tero.)

Plenigu tiujn, kiuj vi ankoraŭ scias. Pri la aliaj ni parolos kune.

Densoj aŭ volumenaj masoj. Kiom pezas unu litro? Kompreneble tio dependas de kiu materialon ni prenas. Unu litro da akvo pezas unu kilogramon, unu litro da lakto ankaŭ. Eĉ se oni prenas alkoholon aŭ benzinon kaj plenigas botelon per ĝi, estas malfacile determini, ĉu ne estas akvo en la botelo, se oni pesas ĝin per la mano. Tiel similaj estas la densoj de preskaŭ ĉiuj likvoj. Ankaŭ manĝaĵoj havas densojn ĉirkaŭ 1 kilogramo por ĉiu litro. Eĉ pri ligno, pri kiu ĉiuj scias, ke ĝi flosas sur la akvo kun duono sub kaj duono super la surfaco, oni ofte povas sukcese kalkuli kvazaŭ ĝi havus la denson 1 kg/L. (Pli precize oni povas kalkuli 0,5 kg/L, se oni opinias, ke tiu speco de ligno flosas duone sub la akvo.) Nur pri ekstremaj materialoj, kiel pezaj metaloj kaj ŝaŭmplasto, oni devas singardi. Kaj gasoj estas tute alia afero. Ni diskutos densojn de gasoj dum alia leciono.

La periferio de la tero. La instruisto donas iujn sugestojn pri kiel oni povas memori tion nombron. Iu lernanto eble konas la radion. Bone tio estas, sed estas ekster la kurso pri proksimuma kalkulado uzi la nombron π.

La loĝantaro de la tero. La instruisto montras, ke ĉi tiu estas informo, kiu ŝanĝas iom post iom. Pro tio oni post kelka jarcento devas relerni. La klaso povas kune fari kelkajn mallongajn kalkulojn per ĉi tiu nombro kiel ekzerco, ekzemple:

Se oni farus fotokatalogon enhavantan ĉiujn homojn de la mondo, kaj komencus kolekti la bildojn en stako, kiom dika fariĝus tiu stako? Supozu, ke ĉiu foto estas dika kiel papero de libro. Kiom da volumoj estiĝus, se ĉiu paĝo havas unu bildon? Se cent bildojn havas ĉiu paĝo? Por komparo, kiom da libroj havas la biblioteko, laŭ nia antaŭa kalkulo? Kiel fariĝus, se ni nur farus liston de la nomojn de la terloĝantaro?

Kiom da elcentoj de la mondloĝantaro estas niaj samlandanoj?

Grupa tasko: Kiom da tunoj da oranĝoj importas Belgio dum unu jaro?

Post la antaŭaj gruptaskoj la instruisto neniam montris ian ajn ”ĝustan respondon”, ĉar grave estis lasi la lernantojn fidi ilian kapablon, liberigi ilin de la sento, ke ie en la Interreto ekzistas ”la vera informo”. En ĉi tiu ekzerco oni komencas sammaniere. Oni diskutas la metodojn kaj komparas la rezultojn de la grupoj. Sed post tio la instruisto povas prezenti la statistikon de la Unuiĝintaj Nacioj. La instruisto klarigas, kial neniu povas ekscii tian aferon tiel precize. Oni elvokas bildoj pri la kestoj en la haveno, kiel oni plenumas la pesadon kaj kiel grandaj povas esti la totala eraro, se oni multiplikas malgrandan sisteman eraron per granda nombro. Tamen la statistikistoj de la Unuiĝintaj Nacioj estas tre kompetentaj. Ili komprenas, ke iliaj nombroj enhavas erarojn. Ili tamen decidis prezenti multajn ciferojn kaj lasi la legantoj taksi, kiom de ili oni fidu.

Ankaŭ montriĝas de la statistiko, ke Belgio kaj importas kaj eksportas oranĝosukon, sed tiuj du kvantoj estas tiom similaj, ke ili preskaŭ kompensas unu la alian. Se neniu lernanto komencis pensi pri tiaj aferoj, oni povas eviti brui pri ilin.

Hejmtasko:Lernu la startpunktaj nombrojn

Leciono 7-8: Areo. La terglobo

La instruisto ripetas rapide sur la tabulo la grupan taskon de la antaŭa leciono (la importo de oranĝoj al Belgio). La lernantoj aparte atentu la formon de la prezentado, kaj prefere kopii ĝin en siajn kajerojn. En ekzamenoj estas prijuĝitaj parte la kredebleco de la taksado, parte la maniero de la prezentado. Oni devas raporti la supozojn kaj taksojn, kiujn oni faras, kaj ankaŭ skribi kiel oni kalkulas. La signoj de egaleco estu kurbaj ĉiam se oni rondigas. Oni povas kalkuli duoble – unu abunda kaj unu malabunda – se necese. Oni volonte diskutu fontoj de eraroj. La respondon oni prezentu klare, kaj volonte oni indiku kiom certa estas la rezulto.

Alia sperto de la oranĝotakso, kiun la lernantoj notu en siajn kajerojn kiel ĝenerala principo, estas, ke oni ofte eliras de sia propra sperto. La eksporto de oranĝoj el Belgio estas tre abstrakta kaj malproksima afero, sed oni kondukas ĝin al informoj, kion oni havas pri sia propra familio.

La lernantoj faras unu el la sekvantaj individuaj taskoj kaj donas ilin al la instruisto. Kaj la kredeblecon kaj la prezento estos konsiderataj, kiam notoj estos fiksitaj.

Alternativ 1: Malgrandan komunumon trafis katastrofo. La transportoj dum longa tempo ne funkcias. Tamen akvo estas havebla, kaj nun oni povas sendi unu buson plenŝarĝita per nutraĵoj. Kiom longe povas daŭri la nutraĵoj de la buso por la loĝantaroj de la komunumo?

Alternativ 2: Kiom da tunoj da manĝaĵo oni povas transporti per unu flugilo. (Oni per ekzemplo povas pensi, ke oni volas helpi katastrof-viktimojn, kiuj estis evakuitaj ien, kie ne troviĝas nutraĵoj.)

Se lernantoj ne scias kiel komenci, la instruisto konsilas lin unue imagi buson/flugilan kajuton. Kiel antaŭe la lernantoj mem rajtas decidi la detalajn kondiĉojn.

Kiam ĉiuj paperoj estas transdonitaj al la instruisto, la instruisto unue prezentas du manierojn, kiel li mem solvus kaj prezentus la taskon, antaŭ li demandas, ĉu iu volas diri pri iu alia maniero. La unua solvo de la instruisto montras kiel oni povas prezenti multoblan multiplikon koncize per uzo de kvocientajn unuojn. Tiam la unuo en la numeratoro estas iu post alia forstrekitaj kune kun la unuo de la denominatoro de la sekvanta faktoro.

1 buso • (50 sidlokoj/buso) • 20 (manĝaĵsakoj/sidloka) • (4 personoj/manĝaĵsako) = 4000 personoj

De sia propra sperto la lernantoj scias, ke manĝaĵsako kutime sufiĉas dum unu tago por unu kvarpersona familio, sed ili povas imagi, ke oni en katastrofa situacio elektus nutraĵojn, kiuj daŭras pli longe. La rezulto estas kelkaj tagoj, se la komunumo havas 4000 loĝantoj, duono de tiu tempo se 8000 loĝantoj k.t.p. Oni povas diskuti kiom da sakoj sur unu sidloko. Ankaŭ busoj havas koridoron kaj foje valizujon, kie oni povas meti nutraĵojn.

La dua solvmaniero estas imagi pakaĵo por unu tago por unu persono – ĉirkaŭ 1 dm³. Oni elpensas kiom da pakaĵoj trovas lokon laŭlonge, laŭlarĝe kaj laŭalte en buso kaj multiplikas. Tio estas tre bona metodo se oni povas imagi lokon plenplena de identaj objektoj.

Grupa tasko: Por kiom da personoj estas loko sur piedpilka ludkampo? Sur kvadratkilometro? Ĉu ĉiuj loĝantoj de la lando trovus lokon tie? Ĉu la monda loĝantaro trovus lokon en via hejma komunumo?

La instruisto montras per geografia terglobo kaj ŝtofaj aŭ paperaj kvadratoj kun lateroj same longaj kiel la distanco poluso-ekvatoro, ke la areo de la tero estas proksima al 5 • 10⁸ kvadratkilometroj. Tiu nombro ne estas unu el la startpunktaj nombroj, kiujn oni nepre lernu parkere. Sed ĝi estas tiel grava, ke oni devas elkalkuli ĝin rapide, kiam oni bezonas ĝin. La lernantoj notu ĝin en la kajerojn, kaj notu la proceduro por elkalkuli ĝin.

La lernantoj taksas la tutan areon de la oceanoj (3 • 10⁸ kvadratkilometroj) kaj la kontinentoj (2 • 10⁸ kvadratkilometroj).

Hejma tasko: Ekzercu ke vi povas rapide eltrovi, ke la areo de la tero estas 5 • 10⁸ kvadratkilometroj. (Ĝi estas preskaŭ startpunkta nombro.) La lernantoj ankaŭ povu taksi la areon de la kontinentoj.

Leciono 9-10: Volumenoj. Maro kaj aero

La lernantoj konatiĝas kun la Vikilibro-skribaĵo https://eo.wikibooks.org/wiki/Proksimuma_kalkulo

Ili lernas tri startpunktajn nombrojn, kiuj estas prezentitaj en tiu libro kaj estas pli detale motivigitaj tie.

La unua estas la denso de gasoj. Antaŭe ili lernis, ke solidaj kaj likvaj substancoj havas densojn proksimaj al 1 kg/litro. Iliaj atomoj situas tre dense en la materialo. La gasaj atomoj aŭ molekuloj kontraŭe havas inter ili dekoblan distancon. Dekfojelaŭlonge, dekfoje laŭlarĝe kaj dekfoje laŭalte faras milfoje da spaco. Unu kilogramo da gaso do plenas unu kubmetron anstataŭ unu litron. La densoj de gasoj do kutime estas ĉirkaŭ 1 kg/m³. (Tio eble ne validas en tre altaj altitudoj, kie flugiloj flugas; tie la gaso povas esti iom pli maldensaj)

Demando: Kiom pezas la aero en la klasĉambro?

La sekva startpunkta nombro estas la diko de la atmosfero. Vi pensu pri la plej altaj montoj de la mondo. Vi scias, ke tie ne troviĝas multe da oksigeno. Pro tio montogrimpantoj foje kunportas oksigeno-cilindrojn. Preskaŭ dek kilometrojn altaj estas la atmosfero. (Vere ĝi fariĝas iom post iom malpli densa ju pli alte oni grimpas, sed kiam oni uzas dek kilometrojn en la kalkulo oni havas fiksitan volumenon. Se oni multiplikas tiun per la denso de la aero ĉe la marnivelo (1 kg/m³), oni povas facile kalkuli la mason de la gaso. Kaj tiu rezulto bone konformas kun la tuta maso de ĉiuj variaj partoj de la atmosfero kun variaj densoj, kiu estas ne tile facile kalkulebla.)

Demando: Kiom estas la volumeno de la atmosfero? Kiom da kubkilometroj? Kiom pezas la atmosfero?

La tria startpunkta nombro estas la profundo de la maroj. 4 kilometrojn profundaj estas la maroj mezvalore (kiel duono de Himalajo).

Demando: Kiom estas la volumeno de ĉiuj maroj de la mondo? Kiom da akvo havus ĉiu mondloĝanto, se oni dividus egale ĉiun akvon?

Leciono 11-12: Brulaĵo kaj karbona dioksido

Ekzemploj de brulaĵoj estas karbo, oleoj, ligno, stearino. Brulaĵoj enhavas karbonon kaj ofte ankaŭ aliajn atomojn, kiel hidrogeno kaj oksigeno. Kiam oni celas proksimuman rezulton oni ofte povas kalkuli kvazaŭ unu kilogramo da brulaĵo donas unu kilogramon da karbona dioksido. Tio ne estas tute vera, ĉar dum brulado alvenas oksigenaj atomoj, pro kio la formiĝinta karbona dioksido estas iom pli peza. Sed samtempe ofte hidrogenaj atomoj foriĝas, pro kio la diferenco ofte ne estas treege granda.

Demando: Kiom da karbona dioksido formiĝas, se oni ĝis malplena benzinujo iras per aŭto?

Respondo: La maso estas pli-malpli kiel la maso de la benzino antaŭ ol ĝi estis forbruligita. La volumeno estas kiel ujo, kiu estas dekoble la longon, dekoble la larĝon kaj dekoble la alton de la benzinujo.

Startpunka nombro: 0,04 % estas la koncentriteco de la karbona dioksido en la aero.

Ekzameno

La ekzameno konsistas parte el taskoj, kie oni devas rememori startpunktajn nombrojn kaj klarigi rezonadojn, kaj parte el unu facila kaj unu malfacila proksimuma kalkulo-tasko.

Kriterioj por prijuĝo de la taskoj de proksimuma kalkulo:

La prezento. La argumentoj estu skribitaj per vortoj kaj kalkuloj, klare sed mallonge. La raporto ne estu tiom mallonga, ke ĝi ne estas facile komprenebla, sed ne enuiga kaj trodetala.

Kredebleco. La respondo estu kredebla kaj bazita sur prudentaj argumentoj.

Metodoj. La uzitaj metodoj estu trafaj kaj sufiĉe diversaj. Ili konduku al la rezulto efike kaj ankaŭ doni ideon pri la ekzakteco kaj kiel influas diversaj fontoj de eraroj la rezulton. La startpunktaj nombroj de la kurso estu majstritaj.

Eltrovemo. Kreaj kaj iom originalaj ideoj estas necesaj, kiam la problemoj estas malsimplaj.